Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II

Schwartz, Laurent

doi:10.5802/aif.77

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 8 (1958), pp. 1-209.

Résumé

Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel $L \otimes M$ ; on note ces topologies par $L \otimes_{λ} M$ , où $λ$ est l’une des 5 lettres $τ, γ, β, π, ε$ . Soient alors $L, M, U, V$ , 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour $ξ \in L {\hat{\otimes}}_{λ} U$ , $η \in M {\hat{\otimes}}_{ε} V$ , on peut définir “un produit croisé”

Γ_{μ, λ} (ξ, η) \in (L {\hat{\otimes}}_{μ} M) {\hat{\otimes}}_{ε} (U {\hat{\otimes}}_{λ} V),

dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si $ϕ, χ, ψ, ω$ , sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $ξ \in L {\hat{\otimes}}_{ϕ} U$ , $η \in M {\hat{\otimes}}_{χ} V$ , un produit croisé appartenant à $(L {\hat{\otimes}}_{ψ} M) {\hat{\otimes}}_{ε} (U \otimes_{ω} V)$ .

Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient $E, F, G,$ 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E \times F$ dans $G$ . Soient d’autre part $ℋ, 𝒦, ℒ$ , 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S \cdot T) \to S \cup T$ de $ℋ \times ℋ$ dans $ℒ$ (par exemple le produit scalaire $S \cdot T$ si $𝒦 = ℋ^{'}$ , $ℒ =$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si $ℋ = 𝒮^{'}$ , $𝒦 = 𝒪_{M^{'}} ℒ = 𝒮^{'}$ ; le produit de convolution si $ℋ = 𝒮^{'}$ , $𝒦 = 𝒪_{c^{'}}^{'} ℒ = 𝒮$ . Alors, si l’espace $ℋ$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\vec{S} \cup_{B} \vec{T} \in ℒ (G)$ , pour $\vec{𝒮} \in ℋ (E)$ , $\vec{T} \in ℋ (F)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.77

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Schwartz, Laurent. Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II. Annales de l'Institut Fourier, Tome 8 (1958), pp. 1-209. doi : 10.5802/aif.77. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.77/

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Schwartz-Dieudonné. Voir Dieudonné-Schwartz.

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