Let be an algebraic complex semi-simple group, with a maximal unipotent subgroup and a maximal torus normalizing . If is a rational finite-dimensional -module, then acts on the algebra of polynomial functions on , and the -structure of is described by the -algebra of -invariant functions. This algebra is finitely generated and multigraded (by the degree of and weight w.r.t. ). The Poincaré series of for this grading is given by an integral formula and e.g. it happens that for most ,
where is the Poincaré series of graded by the degree of . For a simple , the irreducible -modules such that is regular are classified ; in these -modules, every closure of a -orbit has rational singularities. A result similar to the Hilbert-Mumford criterion is also proved for -invariants.
Soit un groupe algébrique semi-simple complexe, un sous-groupe unipotent maximal de , un tore maximal de normalisant . Si est un -module rationnel de dimension finie, alors opère sur l’algèbre des fonctions polynomiales sur ; la structure de -module de est décrite par la -algèbre des -invariants de . Cette algèbre est de type fini et multigraduée (par le degré de et le poids par rapport à ). On donne une formule intégrale pour la série de Poincaré de cette algèbre graduée. De plus, on a par exemple, pour presque tout :
où est la série de Poincaré de graduée par le degré de . On classe les -modules irréductibles (où est simple) tels que soit régulière ; dans ces -modules, l’adhérence de toute -orbite est à singularités rationnelles. Enfin, on prouve un analogue du critère de Hilbert-Mumford pour les -invariants.
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Brion, Michel. Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple. Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 1, pp. 1-27. doi : 10.5802/aif.902. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.902/
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