Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple
Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 1-27.

Soit G un groupe algébrique semi-simple complexe, U un sous-groupe unipotent maximal de G, T un tore maximal de G normalisant U. Si V est un G-module rationnel de dimension finie, alors G opère sur l’algèbre C[V] des fonctions polynomiales sur V; la structure de G-module de C[V] est décrite par la T-algèbre C[V] U des U-invariants de C[V]. Cette algèbre est de type fini et multigraduée (par le degré de C[V] et le poids par rapport à T). On donne une formule intégrale pour la série de Poincaré de cette algèbre graduée. De plus, on a par exemple, pour presque tout V :

f(z-1=(-1) dim V- dim UZ dim Vf(z),

f est la série de Poincaré de C[V] U graduée par le degré de C[V]. On classe les G-modules irréductibles V (où V est simple) tels que C[V] U soit régulière ; dans ces G-modules, l’adhérence de toute G-orbite est à singularités rationnelles. Enfin, on prouve un analogue du critère de Hilbert-Mumford pour les U-invariants.

Let G be an algebraic complex semi-simple group, with a maximal unipotent subgroup U and a maximal torus T normalizing U. If V is a rational finite-dimensional G-module, then G acts on the algebra C[V] of polynomial functions on V, and the G-structure of C[V] is described by the T-algebra C[V] U of U-invariant functions. This algebra is finitely generated and multigraded (by the degree of C[V] and weight w.r.t. T). The Poincaré series of C[V] U for this grading is given by an integral formula and e.g. it happens that for most V,

f(z-1=(-1) dim V- dim UZ dim Vf(z),

where f is the Poincaré series of C[V] U graded by the degree of C[V]. For a simple G, the irreducible G-modules V such that C[V] U is regular are classified ; in these G-modules, every closure of a G-orbit has rational singularities. A result similar to the Hilbert-Mumford criterion is also proved for U-invariants.

@article{AIF_1983__33_1_1_0,
     author = {Brion, Michel},
     title = {Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--27},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {33},
     number = {1},
     year = {1983},
     doi = {10.5802/aif.902},
     zbl = {0475.14038},
     mrnumber = {85a:14031},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.902/}
}
TY  - JOUR
AU  - Brion, Michel
TI  - Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1983
SP  - 1
EP  - 27
VL  - 33
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.902/
DO  - 10.5802/aif.902
LA  - fr
ID  - AIF_1983__33_1_1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Brion, Michel
%T Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1983
%P 1-27
%V 33
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.902/
%R 10.5802/aif.902
%G fr
%F AIF_1983__33_1_1_0
Brion, Michel. Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple. Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 1-27. doi : 10.5802/aif.902. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.902/

[1] H. Kraft, Geometric methods in invariant theory (à paraître dans les Springer Lecture Notes). | Zbl

[2] R.P. Stanley, Hilbert functions of graded algebras, Adv. in Maths., 28 (1978), 57-83. | MR | Zbl

[3] M. Brion, La série de Poincaré des U-invariants, C.R.A.S., Paris, t. 293 (21 septembre 1981). | MR | Zbl

[4] M. Brion, Représentations irréductibles des groupes de Lie simples dont l'algèbre des U-invariants est régulière, C.R.A.S., Paris, t. 293 (2 novembre 1981). | MR | Zbl

[5] H. Freudenthal, H. De Vries, Linear Lie groups, Academic Press, 1968. | Zbl

[6] V.L. Popov, Constructive invariant theory, Astérique, n° 87-88 (1981), 303-334. | MR | Zbl

[7] V.L. Popov, Stability criteria for the action of a semisimple group on a factorial manifold, Math. USSR Iszvestia, 4 (1970), 527-535. | Zbl

[8] T.A. Springer, On the invariant theory of SU2, Proc. of the Koninkl. Akad. van Wetenschappen, vol. 83 (3), 1980, 339-345. | MR | Zbl

[9] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chapitres 4 à 6 (Hermann). | Zbl

[10] A.G. Elashvili, Canonical form and stationary subalgebras of points of general position for simple linear Lie groups. Funct. Anal., 6 (1972), 44-53. | MR | Zbl

[11] G.W. Schwarz, Representations of simple Lie groups with regular ring of invariants, Invent. Math., 49 (1978), 167-191. | MR | Zbl

[12] V.G. Kac, Some remarks on nilpotent orbits, J. of Alg., 64 (1980), 190-213. | MR | Zbl

[13] G.W. Schwarz, Representations of simple Lie groups with a free module of covariants, Invent. Math., 50 (1978), 1-12. | MR | Zbl

[15] B. Kostant, Lie group representations of polynomial rings, Amer. J. of Math., 85 (1963), 327-402. | MR | Zbl

[16] Th. Vust, Sur la théorie des invariants des groupes classiques, Ann. Inst. Fourier, 26, 1 (1976), 1-31. | Numdam | MR | Zbl

[17] W. Borho, H. Kraft, Über Bahnen und deren Deformationen bei linearen Aktionen reduktiver Gruppen, Comment. Math. Helv., 54 (1979), 61-104. | MR | Zbl

[18] R. Elkik, Singularités rationnelles et déformations, Inv. Math., 47 (1978), 139-147. | MR | Zbl

[19] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chap. VII (Hermann). | Zbl

[20] E.B. Dynkin, Maximal subgroups of the classical groups, A.M.S. Translations, vol. 6 (1957), 245-378. | Zbl

[21] J.I. Igusa, A classification of spinors up to dimension twelve, Amer. J. of Math., 92 (1970). | MR | Zbl

[22] D. Mumford, Geometric invariant theory, Springer Verlag, 1965. | MR | Zbl

[23] F. Grosshans, Observable subgroups and Hilbert's fourteenth problem, Amer. J. of Math., 95 (1973), 229-253. | MR | Zbl

[24] D. Hilbert, Über die vollen Invariantensysteme, Math. Annalen, 42 (1893), 313-373. | JFM

[25] W. Hesselink, Desingularizations of varieties of nullforms, Inv. Math., 55 (1979), 141-163. | MR | Zbl

Cité par Sources :