no. 1
Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple
Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 1-27.

Soit G un groupe algébrique semi-simple complexe, U un sous-groupe unipotent maximal de G, T un tore maximal de G normalisant U. Si V est un G-module rationnel de dimension finie, alors G opère sur l’algèbre C[V] des fonctions polynomiales sur V; la structure de G-module de C[V] est décrite par la T-algèbre C[V] U des U-invariants de C[V]. Cette algèbre est de type fini et multigraduée (par le degré de C[V] et le poids par rapport à T). On donne une formule intégrale pour la série de Poincaré de cette algèbre graduée. De plus, on a par exemple, pour presque tout V :

f(z-1=(-1) dim V- dim UZ dim Vf(z),

où f est la série de Poincaré de C[V] U graduée par le degré de C[V]. On classe les G-modules irréductibles V (où V est simple) tels que C[V] U soit régulière ; dans ces G-modules, l’adhérence de toute G-orbite est à singularités rationnelles. Enfin, on prouve un analogue du critère de Hilbert-Mumford pour les U-invariants.

Let G be an algebraic complex semi-simple group, with a maximal unipotent subgroup U and a maximal torus T normalizing U. If V is a rational finite-dimensional G-module, then G acts on the algebra C[V] of polynomial functions on V, and the G-structure of C[V] is described by the T-algebra C[V] U of U-invariant functions. This algebra is finitely generated and multigraded (by the degree of C[V] and weight w.r.t. T). The Poincaré series of C[V] U for this grading is given by an integral formula and e.g. it happens that for most V,

f(z-1=(-1) dim V- dim UZ dim Vf(z),

where f is the Poincaré series of C[V] U graded by the degree of C[V]. For a simple G, the irreducible G-modules V such that C[V] U is regular are classified ; in these G-modules, every closure of a G-orbit has rational singularities. A result similar to the Hilbert-Mumford criterion is also proved for U-invariants.

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Brion, Michel. Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple. Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 1-27. doi : 10.5802/aif.902. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.902/

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