Given a commutative ring and an associative -algebra , we compute the homology group of the -Lie algebra of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to when is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of -algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.
Soient un anneau commutatif et une -algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie de la -algèbre de Lie des matrices de “trace nulle” sur . Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à lorsque est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de -algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.
@article{AIF_1982__32_4_119_0, author = {Kassel, Christian and Loday, Jean-Louis}, title = {Extensions centrales d'alg\`ebres de {Lie}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {119--142}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {32}, number = {4}, year = {1982}, doi = {10.5802/aif.896}, zbl = {0485.17006}, mrnumber = {85g:17004}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/} }
TY - JOUR AU - Kassel, Christian AU - Loday, Jean-Louis TI - Extensions centrales d'algèbres de Lie JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1982 SP - 119 EP - 142 VL - 32 IS - 4 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/ DO - 10.5802/aif.896 LA - fr ID - AIF_1982__32_4_119_0 ER -
%0 Journal Article %A Kassel, Christian %A Loday, Jean-Louis %T Extensions centrales d'algèbres de Lie %J Annales de l'Institut Fourier %D 1982 %P 119-142 %V 32 %N 4 %I Institut Fourier %C Grenoble %U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/ %R 10.5802/aif.896 %G fr %F AIF_1982__32_4_119_0
Kassel, Christian; Loday, Jean-Louis. Extensions centrales d'algèbres de Lie. Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 4, pp. 119-142. doi : 10.5802/aif.896. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/
[1] The dilogarithm and extensions of Lie algebras, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lecture Notes in Math., n° 854 (1981), 1-23. | MR | Zbl
,[2] Homological algebra, Princeton University Press (1956). | MR | Zbl
and ,[3] The arithmetic theory of loop groups, Publ. I.H.E.S., n° 52 (1980), 5-136. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
,[4] Obstruction à l'excision en K-théorie algébrique, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lect. Notes in Math., n° 854 (1981), 179-216. | MR | Zbl
et ,[5] Lie algebra kernels and cohomology, Amer. J. Math., 76 (1954), 698-716. | MR | Zbl
,[6] Homologie du groupe linéaire général et K-théorie stable, thèse, Université de Strasbourg, juin 1981.
,[7] Calcul algébrique de l'homologie de certains groupes de matrices, J. of Algebra, 80, n° 1 (1983). | MR | Zbl
,[8] Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs, J. of Algebra, 54 (1978), 178-202. | MR | Zbl
,[9] Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, n° 72, Princeton University Press (1971). | MR | Zbl
,[10] On the three dimensional cohomology group of Lie algebras, J. Math. Soc. Japan, 5 (1953), 171-183. | MR | Zbl
,Cited by Sources: