no. 4
Extensions centrales d'algèbres de Lie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 119-142.

Soient k un anneau commutatif et A une k-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie H 2 (𝔰l n (A),k) de la k-algèbre de Lie 𝔰l n (A) des matrices de “trace nulle” sur A. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à Ω A/k 1 /dA lorsque A est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de k-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.

Given a commutative ring k and an associative k-algebra A, we compute the homology group H 2 (𝔰l n (A),k) of the k-Lie algebra 𝔰l n (A)of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to Ω A/k 1 /dA when A is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of k-algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.

@article{AIF_1982__32_4_119_0,
     author = {Kassel, Christian and Loday, Jean-Louis},
     title = {Extensions centrales d'alg\`ebres de {Lie}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {119--142},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {32},
     number = {4},
     year = {1982},
     doi = {10.5802/aif.896},
     zbl = {0485.17006},
     mrnumber = {85g:17004},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kassel, Christian
AU  - Loday, Jean-Louis
TI  - Extensions centrales d'algèbres de Lie
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1982
SP  - 119
EP  - 142
VL  - 32
IS  - 4
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/
DO  - 10.5802/aif.896
LA  - fr
ID  - AIF_1982__32_4_119_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kassel, Christian
%A Loday, Jean-Louis
%T Extensions centrales d'algèbres de Lie
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1982
%P 119-142
%V 32
%N 4
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/
%R 10.5802/aif.896
%G fr
%F AIF_1982__32_4_119_0
Kassel, Christian; Loday, Jean-Louis. Extensions centrales d'algèbres de Lie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 119-142. doi : 10.5802/aif.896. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.896/

[1] S. Bloch, The dilogarithm and extensions of Lie algebras, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lecture Notes in Math., n° 854 (1981), 1-23. | MR | Zbl

[2] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press (1956). | MR | Zbl

[3] H. Garland, The arithmetic theory of loop groups, Publ. I.H.E.S., n° 52 (1980), 5-136. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] D. Guin-Walery et J.-L. Loday, Obstruction à l'excision en K-théorie algébrique, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lect. Notes in Math., n° 854 (1981), 179-216. | MR | Zbl

[5] G. Hochschild, Lie algebra kernels and cohomology, Amer. J. Math., 76 (1954), 698-716. | MR | Zbl

[6] C. Kassel, Homologie du groupe linéaire général et K-théorie stable, thèse, Université de Strasbourg, juin 1981.

[7] C. Kassel, Calcul algébrique de l'homologie de certains groupes de matrices, J. of Algebra, 80, n° 1 (1983). | MR | Zbl

[8] J.-L. Loday, Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs, J. of Algebra, 54 (1978), 178-202. | MR | Zbl

[9] J. Milnor, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, n° 72, Princeton University Press (1971). | MR | Zbl

[10] M. Mori, On the three dimensional cohomology group of Lie algebras, J. Math. Soc. Japan, 5 (1953), 171-183. | MR | Zbl

Cité par Sources :