no. 3
Microlocal regularity at the boundary for pseudo-differential operators with the transmission property (I)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 183-213.

Nous nous livrons dans cet article à une étude systématique des propriétés de régularité microlocale des opérateurs pseudo-différentiels possédant la propriété de transmission. Nous définissons à cet effet une notion de spectre singulier sur le bord, noté ∂WF ω (u) pour les distributions u∈D ′ (R + n ) régulières en la variable normale x n (∂WF ω (u))=∅ signifiant que u∈∩ s+t=1/2 H s+t près du bord), et montrons que ∂WF ω-m P(u 0 ) x n >0 est inclus dans ∂WF(u) si P est le degré m et possède la propriété de transmission. Nous montrons finalement que ces résultats permettent d’obtenir un théorème de régularité (microlocale) pour les solutions des problèmes de Cauchy associés à des opérateurs différentiels à bicaractéristiques transverses à l’hyperplan des données initiales.

This work is devoted to a systematic study of the microlocal regularity properties of pseudo-differential operators with the transmission property. We introduce a “boundary singular spectrum”, denoted ∂WF ω (u) for distributions u∈D ′ (R + n ), regular in the normal variable x n (thus, ∂WF ω (u)=∅ means that u∈∩ s+t=1/2 H s+t near the boundary), and it is shown that ∂WF ω-m [P(u 0 ) x n >0 ] is a subset of ∂WF(u) if P has degree m and the transmission property. We finally prove that these results can bef used to examinate the (microlocal) regularity of the solutions of differential Cauchy problems, with bicharacteristics transversal to the hyperplane supporting the Cauchy data.

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