La dualité dans les espaces (ℱ) et (ℒℱ)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 61-101.

L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces (ℱ), qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces (ℒℱ) qui s’obtiennent à partir des espaces (ℱ) par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante (F n ) d’espaces (ℱ), muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des F n sa topologie propre. Pour un tel espace E, on définit son dual E ′ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires x ′ continues dans E, et on pose 〈x,x ′ 〉=x ′ (x) pour x∈E, x ′ ∈E ′ . Pour développer la théorie de la dualité, on munit E ′ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble B dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de 0 contient un homothétique de B (dans un rapport >0 assez petit), la topologie forte sur E ′ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de E. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces E et E ′  : appelons polaire d’un ensemble A⊂E (resp. A ′ ⊂E ′ ) l’ensemble A 0 ⊂E ′ (resp. A ′0 ⊂E) formé des x ′ ∈E ′ (resp. x∈E) tels que |〈x,x ′ 〉|≤1 pour tout x∈A (resp. tout x ′ ∈A ′ ) ; alors les polaires des ensembles bornés dans E (resp. E ′ ) sont les voisinages de 0 dans E ′ (resp. E) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace (ℱ) ou (ℒℱ) soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces (ℱ) ou (ℒℱ) ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.

@article{AIF_1949__1__61_0,
     author = {Dieudonn\'e, Jean and Schwartz, Laurent},
     title = {La dualit\'e dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {61--101},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {1},
     year = {1949},
     doi = {10.5802/aif.8},
     zbl = {0035.35501},
     mrnumber = {12,417d},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.8/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dieudonné, Jean
AU  - Schwartz, Laurent
TI  - La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1949
SP  - 61
EP  - 101
VL  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.8/
DO  - 10.5802/aif.8
LA  - fr
ID  - AIF_1949__1__61_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dieudonné, Jean
%A Schwartz, Laurent
%T La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1949
%P 61-101
%V 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.8/
%R 10.5802/aif.8
%G fr
%F AIF_1949__1__61_0
Dieudonné, Jean; Schwartz, Laurent. La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 61-101. doi : 10.5802/aif.8. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.8/

[1] R. Arens, Duality in linear spaces, Duke Math. Journ., t. 14 (1947), p. 787-794. | MR | Zbl

[2] S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932. | JFM | Zbl

[3] N. Bourbaki, Éléments de Mathématique, livre II : Algèbre (Act. Scient. et Ind., nos 934, 1032 et 1044, Paris (Hermann), 1943-1948).

[4] N. Bourbaki, Éléments de Mathématique, livre III : Topologie générale (Act. Scient. et Ind., nos 858, 916, 1029, 1045 et 1084, Paris (Hermann), 1940-1949).

[5] J. Dieudonné, La dualité dans les espaces vectoriels topologiques, Annales de l'École Normale Supérieure, t. 59 (1942), p. 107-139. | JFM | Numdam | MR | Zbl

[6] J. Dieudonné, Natural homomorphisms in Banach spaces, Proceedings of the American Mathematical Society, t. 56 (1950). | MR | Zbl

[7] W. F. Eberlein, Weak compactness in Banach spaces, I, Proceedings of the National Academy of Sciences, t. 33 (1947), p. 51-53. | MR | Zbl

[8] V. Ganapathy Iyer, On the space of integral functions, I, Journal of the Indian Mathematical Society, t. 12 (1948), p. 13-30. | MR | Zbl

[9] A. Kolmogoroff, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes, Studia Mathematica, t. 5 (1935), p. 29-33. | EuDML | JFM | Zbl

[10] G. Köthe, Die Stufenraüme, eine einfache Klasse linearer vollkommener Raüme, Mathematische Zeitschrift, t. 51 (1948), p. 317-345. | EuDML | Zbl

[11] G. W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Transactions of the American Mathematical Society, t. 57 (1945), p. 155-207. | MR | Zbl

[12] G. W. Mackey, On convex topological linear spaces, Transactions of the American Mathematical Society, t. 60 (1946), p. 520-537. | MR | Zbl

[13] L. Schwartz, Théorie des Distributions, Paris, Hermann, 1950. | MR | Zbl

[14] V. Šmulian, Über lineare topologische Raüme, Mat. Sbornik, N. S., t. 7 (1941), p. 425-448. | JFM | MR | Zbl

Cité par Sources :