no. 1
Annulation du groupe des ℓ-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à ℓ
Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 15-32.

Soit ℓ un nombre premier impair. Soit K une extension abélienne réelle de Q de degré premier à ℓ et soit G son groupe de Galois; soit ϕ (ϕ≠1) un caractère ℓ-adique irréductible de K. Soit M la ℓ-extension abélienne maximale de K non ramifiée en dehors de ℓ et soit 𝒜 le Z ℓ [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (la ϕ-composante de 𝒜) est un module fini sur l’anneau des entiers Z ℓ ψ ′ de Q ℓ ψ ′ (corps des valeurs sur Q ℓ d’un caractère ψ ′ de degré 1 divisant ϕ). On construit explicitement pour tout n≥0 un élément 𝒮 n de Z ℓ ψ ′ qui annule le module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕℓ n+1 . On montre ensuite que la suite des 𝒮 n a une limite ℓ-adique (qui annule 𝒜 ϕ ) et que cette limite est le nombre L ℓ (1,ψ ′ ) (valeur en “s=1” de la fonction L ℓ-adique relative au caractère ψ ′ ).

Let ℓ be an odd prime number. Let K be a real abelian extension of Q with a degree prime to ℓ and let G be the Galois group of K/Q; Let ϕ (ϕ≠1) be an irreducible ℓ-adic character of K. Let M be the maximal abelian ℓ-extension of K unramified outside ℓ and let 𝒜 be the Z ℓ [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (the ϕ-component of 𝒜) is a finite module over the ring of integers Z ℓ ψ ′ of Q ℓ ψ ′ (field generated over Q ℓ by the values of a character ψ ′ of degree 1 dividing ϕ). We construct explicitely, for all n≥0, an element 𝒮 n in Z ℓ ψ ′ which annihilates the module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕℓ n+1 . We then show that the sequence 𝒮 n has a ℓ-adic limit (which annihilates 𝒜 ϕ ) and that this limit is the number L ℓ (1,ψ ′ ) (value at “s=1” of the ℓ-adic L function of the character ψ ′ ).

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[4] G. Gras, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 27, 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR | Zbl

[5] G. Gras, Application de la notion de ϕ-objet à l'étude du groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes, Publ. math. Univ. de Besançon (1975-1976).

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[7] R. Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. Jour., 67 (1977). | MR | Zbl

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[9] B. Oriat et Ph. Satge, Un essai de généralisation du Spiege-lungssatz, à paraître au Journal de Crelle.

Cité par Sources :