La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 45-119.

On introduit les espaces fonctionnels dans lesquels l’opérateur potentiel satisfait au principe semi-complet du maximum si et seulement si la contraction module opère. Un tel espace fonctionnel sur la frontière de Martin d’un espace harmonique symétrique de Brelot est envisagé à l’aide du noyau Θ de Naïm. Il est isomorphe à l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques. L’opérateur potentiel P de cet espace donne la solution du problème de Neumann. On introduit l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques hors d’un compact K, et montre le principe du minimum : une fonction surharmonique s hors de K dont la partie harmonique a l’intégrale de Dirichlet finie est positive si liminfs0 sur K et si sa dérivée normale à la frontière est positive (au sens que nous préciserons). Nous construisons le noyau-fonction de Neumann dont l’opérateur potentiel s’écrit N=G-HP nG avec l’opérateur potentiel de Green. HP nG est compact et d’après le principe du minimum ci-dessus N satisfait au principe semi-complet du maximum. La résolvante markovienne de N sera donnée en utilisant le théorème de l’indice.

We shall introduce the functional spaces where the potential operator satisfies the semi-complete maximum principle if and only if the module contraction operates. Such a functional space on the Martin boundary of a symmetric Brelot’s harmonic space in investigated with the help of Naim’s Θ-kernel. This is isomorphic to the Dirichlet space of harmonic functions. The potential operator P of this functional space gives the solution of Neumann problem. We shall introduce the Dirichlet space of functions that are harmonic out of a compact set K, and shall show the following minimum principle: a superharmonic function s out K whose harmonic part has a finite Dirichlet integral is positive if liminf0 on K and if its normal derivative at the boundary is positive (in the sense which we will precise later). We construct the kernel-function of Neumann whose potential operator is written by the form N=G-HP nG, where G is the Green operator. HP nG is compact and N satisfies the semi-complete maximum principle, which we can see from the above-cited minimum principle. By using the index theorem we give the markovian resolvent of N.

@article{AIF_1977__27_4_45_0,
     author = {Kori, Tosiaki},
     title = {La th\'eorie des espaces fonctionnels \`a nullit\'e 1 et le probl\`eme de {Neumann} sur les espaces harmoniques},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {45--119},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {27},
     number = {4},
     year = {1977},
     doi = {10.5802/aif.672},
     zbl = {0357.31008},
     mrnumber = {58 #22623},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.672/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kori, Tosiaki
TI  - La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1977
SP  - 45
EP  - 119
VL  - 27
IS  - 4
PB  - Imprimerie Durand
PP  - 28 - Luisant
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.672/
DO  - 10.5802/aif.672
LA  - fr
ID  - AIF_1977__27_4_45_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kori, Tosiaki
%T La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1977
%P 45-119
%V 27
%N 4
%I Imprimerie Durand
%C 28 - Luisant
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.672/
%R 10.5802/aif.672
%G fr
%F AIF_1977__27_4_45_0
Kori, Tosiaki. La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 45-119. doi : 10.5802/aif.672. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.672/

[1] N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels, Trans. A.M.S., 68 (1950), 337-404. | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Lectures on Potential Theory, Tata Institute, Bombay (1960). | MR | Zbl

[3] A. Beurling and J. Deny, Dirichlet spaces, Proc. Nat. Acad. Sci., (1959), 208-215. | MR | Zbl

[4] J. Deny, Principe complet du maximum et contractions, Ann. Inst. Fourier, 15 (1965), 259-272. | Numdam | MR | Zbl

[5] J. L. Doob, Boundary properties of functions with finite Dirichlet integrals, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 573-621. | Numdam | MR | Zbl

[6] K. Gowrisankaran, Extreme harmonic functions and boundary value problems, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 307-356. | Numdam | MR | Zbl

[7] T. Kori, Sheaf cohomology theory on harmonic spaces, J. Math. Kyoto Univ., 14, 3 (1974), 555-595. | MR | Zbl

[8] T. Kori, Problème de Neumann sur les espaces harmoniques, Math. Ann., 224 (1976), 53-76. | MR | Zbl

[9] T. Kori, Axiomatic theory of non-negative full-superharmonic functions, J. Math. Soc. Japan, 23 (1971), 481-526. | MR | Zbl

[10] P. A. Meyer, Brelot's axiomatic theory of Dirichlet problem and Hunt's theory, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 357-372. | Numdam | MR | Zbl

[11] P. A. Meyer, Probabilités et Potentiel, Hermann, Paris (1966). | MR | Zbl

[12] L. Naim, Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 7 (1957), 183-281. | Numdam | MR | Zbl

[13] B. Walsh, Flux in axiomatic potential theory I : Cohomologie, Inventiones Math., 8 (1969), 175-221. | MR | Zbl

Cité par Sources :