no. 4
La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 45-119.

On introduit les espaces fonctionnels dans lesquels l’opérateur potentiel satisfait au principe semi-complet du maximum si et seulement si la contraction module opère. Un tel espace fonctionnel sur la frontière de Martin d’un espace harmonique symétrique de Brelot est envisagé à l’aide du noyau Θ de Naïm. Il est isomorphe à l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques. L’opérateur potentiel P de cet espace donne la solution du problème de Neumann. On introduit l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques hors d’un compact K, et montre le principe du minimum : une fonction surharmonique s hors de K dont la partie harmonique a l’intégrale de Dirichlet finie est positive si liminfs≥0 sur ∂K et si sa dérivée normale à la frontière est positive (au sens que nous préciserons). Nous construisons le noyau-fonction de Neumann dont l’opérateur potentiel s’écrit N=G-HP∂ ∂nG avec l’opérateur potentiel de Green. HP∂ ∂nG est compact et d’après le principe du minimum ci-dessus N satisfait au principe semi-complet du maximum. La résolvante markovienne de N sera donnée en utilisant le théorème de l’indice.

We shall introduce the functional spaces where the potential operator satisfies the semi-complete maximum principle if and only if the module contraction operates. Such a functional space on the Martin boundary of a symmetric Brelot’s harmonic space in investigated with the help of Naim’s Θ-kernel. This is isomorphic to the Dirichlet space of harmonic functions. The potential operator P of this functional space gives the solution of Neumann problem. We shall introduce the Dirichlet space of functions that are harmonic out of a compact set K, and shall show the following minimum principle: a superharmonic function s out K whose harmonic part has a finite Dirichlet integral is positive if liminf≥0 on ∂K and if its normal derivative at the boundary is positive (in the sense which we will precise later). We construct the kernel-function of Neumann whose potential operator is written by the form N=G-HP∂ ∂nG, where G is the Green operator. HP∂ ∂nG is compact and N satisfies the semi-complete maximum principle, which we can see from the above-cited minimum principle. By using the index theorem we give the markovian resolvent of N.

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Kori, Tosiaki. La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 45-119. doi : 10.5802/aif.672. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.672/

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Cité par Sources :