Functional spaces and functional completion

Aronszajn, Nachman; Smith, K. T.

doi:10.5802/aif.63

Aronszajn, Nachman ; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 125-185.

Résumé

Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles $ℱ$ dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble $A \subset ℰ$ appartenant à une classe $𝔞$ d’ensemble ( $A$ variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle $\tilde{ℱ}$ d’une classe fonctionnelle normée $ℱ$ (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet $\tilde{ℱ}$ dont $ℱ$ soit un sous-espace dense). Le problème n’admet pas toujours de solution et même quand il en admet une, cette solution nécessite en général un élargissement de la classe exceptionnelle $𝔞$ . La construction d’une telle classe élargie $\tilde{𝔞}$ forme la partie essentielle du problème. Pour une classe normée $ℱ$ nous définissions des fonctions sous-additives $c_{ϕ} (B)$ d’un ensemble $B \subset ℰ$ (que nous appelons capacités ; les classes $E_{B} [c_{ϕ} (B) = 0]$ présentent des choix acceptables pour $\tilde{𝔞}$ . Nous donnons aussi des conditions suffisantes simples (propriétés de majoration) qui assurent l’existence d’une complétion parfaite, c’est-à-dire avec une classe $\tilde{𝔞}$ minimale.

Les exemples du second chapitre servent à illustrer la signification et l’utilité des notions introduites dans le premier chapitre. Mentionnons l’exemple 3 où nos capacités servent à étendre le théorème de Fatou sous sa forme la plus précise aux fonctions harmoniques dans un domaine $n$ -dimensionnel avec une frontière aux normales lipschitziennes (cette extension était connue même dans un cadre bien plus large mais sous une forme moins précise). Dans l’exemple 4 nous considérons les potentiels d’ordre $α$ de M. Riesz. Nous montrons que dans ce cas notre capacité $c_{2}$ coïncide avec la capacité usuelle d’ordre $α$ . En combinant nos résultats avec des résultats récents de G. Choquet, nous prouvons que les capacités – extérieure et intérieure – d’ordre $α$ sont égales pour les ensembles analytiques (ce fait n’était connu que pour $α \leq 2$ ).

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.63

@article{AIF_1956__6__125_0,
     author = {Aronszajn, Nachman and Smith, K. T.},
     title = {Functional spaces and functional completion},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {125--185},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {6},
     year = {1956},
     doi = {10.5802/aif.63},
     zbl = {0071.33003},
     mrnumber = {18,319c},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.63/}
}

TY  - JOUR
AU  - Aronszajn, Nachman
AU  - Smith, K. T.
TI  - Functional spaces and functional completion
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1956
SP  - 125
EP  - 185
VL  - 6
PB  - Imprimerie Louis-Jean
PP  - Gap
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.63/
DO  - 10.5802/aif.63
LA  - en
ID  - AIF_1956__6__125_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Aronszajn, Nachman
%A Smith, K. T.
%T Functional spaces and functional completion
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1956
%P 125-185
%V 6
%I Imprimerie Louis-Jean
%C Gap
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.63/
%R 10.5802/aif.63
%G en
%F AIF_1956__6__125_0

Aronszajn, Nachman; Smith, K. T. Functional spaces and functional completion. Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 125-185. doi : 10.5802/aif.63. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.63/

Bibliographie
Cité par

[1] N. Aronszajn. La théorie générale des noyaux reproduisants et ses applications, Première Partie, Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 39 (1944), p. 133. | Zbl

[2] N. Aronszajn. Les noyaux pseudo-reproduisants. Noyaux pseudo-reproduisants et complétion des classes hilbertiennes. Complétion fonctionnelle de certaines classes hilbertiennes. Propriétés de certaines classes hilbertiennes complétées. C. R. Ac. Sci., Paris, vol. 226 (1948), pp. 456, 537, 617, 700. | Zbl

[3] N. Aronszajn. The Rayleigh-Ritz and A. Weinstein methods for approximation of eigenvalues. I. Operators in a Hilbert space. II. Differential operators. Proc. Nat. Ac. Sci., vol. 34 (1948) pp. 474-480, 594-601. | MR | Zbl

[4] N. Aronszajn. Theory of reproducing kernels. Trans. Am. Math. Soc., vol. 68 (1950), pp. 337-404. | MR | Zbl

[5] N. Aronszajn. The Rayleigh-Ritz and the Weinstein methods for approximation of eigenvalues. Differential operators. Technical Report II to the Office of Naval Research (1950).

[6] N. Aronszajn. Green's functions and reproducing kernels. Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and Differential Problems. (1951) Oklahoma A. and M. College, Stillwater, Oklahoma.

[7] N. Aronszajn. Approximation methods for eigenvalues of completely continuous symmetric operators. Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and Differential Problems. (1951) Stillwater, Oklahoma. | Zbl

[8] N. Aronszajn. Functional spaces and functional completion. Technical Report 7 to the Office of Naval Research (1952).

[9] S. Bergman. The kernel function and conformal mapping. Mathematical Surveys 5, Amer. Math. Soc., (1950), New York. | MR | Zbl

[10] N. Bourbaki. Intégration. Ac. Sci. Ind., 1175 Hermann, Paris (1952). | Zbl

[11] J. W. Calkin. Functions of several variables and absolute continuity, I. Duke Math. Journ., vol. 6 (1940), pp. 170-186. | JFM | MR | Zbl

[12] H. Cartan. Sur les fondements de la théorie du potentiel. Bull. Soc. Math. de France, vol. 69 (1941), pp. 71-96. | JFM | Numdam | MR | Zbl

[13] H. Cartan. Théorie du potentiel newtonien : énergie, capacité, suites de potentiels. Bull. Soc. Math. de France, vol. 73 (1945), pp. 74-106. | Numdam | MR | Zbl

[14] G. Choquet. Capacitabilité. Theorèmes fondamentaux. C. R. Ac. Sci., vol. 234, Paris (1952), p. 784. | MR | Zbl

[14 a] G. Choquet. Theory of capacities. Ann. de l'Inst. Fourier, vol. 5, Grenoble (années 1953-1954), pp. 131-295. | Numdam | MR | Zbl

[15] J. Deny. Les potentiels d'énergie finie. Acta Math., vol. 82 (1950) pp. 107-183. | MR | Zbl

[16] K. O. Friedrichs. Spektraltheorie halbbeschraenkter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren. Math. Ann., vol. 109 (1934) pp. 465-487, 685-713. Errata : Ibid., vol. 110 (1935), pp. 777-779. | JFM | Zbl

[17] O. Frostman. Potentiels d'équilibre et capacité des ensembles. Thesis. Lund (1935). | JFM | Zbl

[18] P. R. Halmos. Measure Theory. D. van Nostrand Co., New York (1950). | MR | Zbl

[19] O. D. Kellogg. Foundations of Potential Theory. Grundl. der Math. Wiss., vol. 31, Berlin (1929).

[20] C. B. Morrey. Functions of several variables and absolute continuity. II Duke Math. Journ., vol. 6 (1940). pp. 187-215. | JFM | MR | Zbl

[21] O. Nikodym. Sur une classe de fonctions considérées dans l'étude du problème de Dirichlet. Fund. Math., vol. 21 (1933), pp. 129-150. | JFM | Zbl

[22] I. I. Privaloff and P. Kouznetzoff. Sur les problèmes limites et les classes différentes de fonctions harmoniques et subharmoniques définies dans un domaine arbitraire. Rec. Math. Moscou. Vol. 6 (1939), pp. 345-375. | JFM | MR | Zbl

[23] M. Riesz. Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. Acta Szeged., vol. 9 (1938), pp. 1-42. | JFM | Zbl

[24] L. Schwartz. Théorie des distributions, I, II. Ac. Sci. Ind., vols. 1091, 1122, Paris (1950, 1951). | MR | Zbl

[25] C. De La Vallée Poussin. Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine ouvert limité par des surfaces à courbure bornée. Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa., vol. 2 (1933), pp. 167-197. | JFM | Numdam

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT