no. 2
Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff
Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 171-220

Soit ω(x)=∑ i=1 n a i (x)dx i un germe en 0∈R n d’une forme de Pfaff, complètement intégrable (ω∧dω=0) de classe C ∞ ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé ( dim R E n /[a 1 ,a 2 ,...,a n ]<∞). La matrice ∂a i ∂x j (0) est symétrique ; soit q w la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail :

i) que ω possède une intégrale première formelle (i.e., j ∞ ω=gdf, g(0)≠0 où f et g sont des séries formelles).

ii) que, si ω est analytique et rang q w ≥2, ω possède une intégrale première analytique (i.e. ω=gdf, g(0)≠0, g,f∈0 n ).

iii) que, si ω est C ∞ et si (indice q m ) ≥n-1≥3, ω possède une intégrale première C ∞ (i.e., ω=gdf, g(0)≠0, g,f∈E n ).

Let ω(x)=∑ i=1 n a i (x)dx i a germ at 0∈R n of a (C ∞ or analytic) completely integrable pfaffian form (ω∧dω=0) for which 0 is an algebraically isolated zero ( dim R E n /[a 1 ,a 2 ,...,a n ]<∞). The matrix ∂a i ∂x j (0) is symmetric; let q w the associated quadratic form. We prove in this article:

i) that ω has a formal first integral (i.e., j ∞ ω=gdf, g(0)≠0, g,f∈F n ).

ii) that, if ω is analytic and rank q w ≥2, ω has a analytic first integral (i.e., ω=gdf, g(0)≠0, g,f∈0 n ).

iii) that, if ω is C ∞ and if (index q m ) ≥n-1≥3, ω has a C ∞ first integral (i.e., ω=gdf, g(0)≠0, g,f∈E n ).

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Moussu, Robert. Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 171-220. doi: 10.5802/aif.621

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