no. 2
Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de 𝐂 n
Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 71-99

Soit Ω un domaine d’holomorphie de C n et soit ψ une fonction positive telle que pour tout k>0 on ait

supz∈Ω{ψ(z),[ min dist (z,Cn∖Ω),(1+|z|2)-1/2]k}<∞.

On note H p (Ω,ψ), 1≤p≤∞, l’espace des fonctions f holomorphes dans Ω telles que ∥f∥ p =∫ Ω | f | p ψ 1/p <∞. On donne des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’approximation des fonctions de H p (Ω,ψ) par des fonctions holomorphes dans un ouvert contenant Ω, ou par des polynômes. On obtient comme cas particulier les résultats suivants :

a) les polynômes sont denses dans H p (Ω, exp (-Φ)) lorsque Ω est ouvert convexe (non borné) et Φ une fonction convexe dans Ω,

b) les polynômes sont denses dans H p (C n , exp (-Φ)), 1≤p≤∞, si Φ est plurisousharmonique homogène d’ordre ρ>0.

Let Ω be a domain of holomorphy in C n and let ψ be a positive function in Ω such that

supz∈Ω{ψ(z),[ min dist (z,Cn∖Ω),(1+|z|2)-1/2]k}<∞

for all k>0. Let H p (Ω,ψ), be the space of holomorphic function f on Ω such that ∥f∥ p =∫ Ω | f | p ψ 1/p <∞. We study necessary and sufficient conditions for the density in H p (Ω,ψ) of functions holomorphic in larger open sets, or of polynomials. As application of more general results we have:

a) polynomials are dense in H p (Ω, exp (-Φ)) if Ω is convex and Φ is a convex function on Ω,

b) polynomials are dense in H p (C n , exp (-Φ)), if Φ is plurisubharmonic and homogeneous of order ρ>0.

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