no. 1
Quelques exemples de feuilletages espèces rares
Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 239-264.

On répartit habituellement les feuilles d’un feuilletage de codimension 1 sur une variété M en trois types :

i) feuilles propres i.e. ouvertes dans leur adhérence ;

ii) feuilles localement denses ;

iii) feuilles exceptionnelles i.e. ni propres, ni localement denses.

Lorsque le mélange des feuilles des divers types dans un même feuilletage est suffisamment complexe, on dit qu’on a affaire à un feuilletage “espèce rare". Le but du présent travail est alors de constituer une sorte d’“herbier des espèces rares" sur M=R 3 ou M=V×S 1 (où V désigne la surface compacte de genre 2). Mais si toutes les espèces rares sont réalisées sur R 3 en classe C ∞ , il ne nous a été possible de réaliser certaines d’entre elles qu’en classe C 0 sur V×S 1 . En particulier reste ouvert le problème de savoir s’il existe en classe C 2 , sur une variété compacte, des feuilletages dont toutes les feuilles soient exceptionnelles.

Usually, the leaves of a codimension 1 foliation on a manifold M are classified into three types:

i) proper leaves;

ii) leaves which are locally dense;

iii) exceptional leaves i.e. leaves which are neither proper nor locally dense.

If for a given foliation, leaves of different types are very strongly mixed the foliation is said to be a “rare species”. Here we are interested in making an exhaustive collection of rare species on M=R 3 or M=V×S 1 (where V is the compact surface of genus 2). In R 3 all the rare species are of class C ∞ whereas some of them on V×S 1 have only been constructed here in class C 0 .

In particular, it is an open question whether there exists on a compact manifold a foliation of class C 2 with all the leaves exceptional.

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