We prove that the category of von Neumann algebras is equivalent to the category of self dual facially homogeneous complex cones where a cone in a real Hilbert space is called: 1) facially homogeneous when for each face of the operator (Projection on ) (Projection on ) is a derivation of (i.e. ) ; 2) complex when one has given a complex Lie algebra structure on the real Lie algebra of derivations of , modulo its center. We show that an ordered space , is underlying a von Neumann algebra if and only if for some self dual scalar product on the completion of is facially homogeneous and complex.
Nous démontrons que la catégorie de von Neumann est équivalente à la catégorie des cônes autopolaires, facialement homogènes, complexes. Un cône dans un espace hilbertien réel est dit : 1) facialement homogène quand pour toute face de l’opérateur (Projection sur ) (Projection sur ) est une dérivation de (i.e. ) ; 2) complexe quand on s’est donné une structure d’algèbre de Lie complexe sur l’algèbre de Lie réelle des dérivations de , modulo son centre. Nous caractérisons les espaces vectoriels ordonnés , sous-jacents aux algèbres de von Neumann par l’existence d’une forme autopolaire sur telle que le complété de soit facialement homogène et complexe.
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Connes, Alain. Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann. Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 4, pp. 121-155. doi : 10.5802/aif.534. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.534/
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