Sur les -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier
Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 1-48.

Soit H(K) le -groupe des classes d’idéaux d’une extension K/k cyclique de degré premier et soit H i = Ker (σ-1) i (σ générateur de Gal (K/k)). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer H i+1 et l’ordre de H i+1 /H i à partir de H i . On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de H(K) et, d’autre part, une étude générale des problèmes de -classes d’idéaux.

Let H(K) be the -group of ideal classes of a cyclic extension K/k of prime degree and H i = Ker (σ-1) i (σ generator of Gal (K/k)). A method which generalizes the Chevalley’s formula (“ambiguous classes”) allows the determination of H i+1 and the order of H i+1 /H i , when H i is known. A method is thus obtained which permits an effective determination of the structure of H(K) and a general study of -ideal classes problems.

@article{AIF_1973__23_3_1_0,
     author = {Gras, Georges},
     title = {Sur les $\ell $-classes d{\textquoteright}id\'eaux dans les extensions cycliques relatives de degr\'e premier $\ell $},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--48},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {23},
     number = {3},
     year = {1973},
     doi = {10.5802/aif.471},
     zbl = {0276.12013},
     mrnumber = {50 #12967},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.471/}
}
TY  - JOUR
AU  - Gras, Georges
TI  - Sur les $\ell $-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $\ell $
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1973
SP  - 1
EP  - 48
VL  - 23
IS  - 3
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.471/
DO  - 10.5802/aif.471
LA  - fr
ID  - AIF_1973__23_3_1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gras, Georges
%T Sur les $\ell $-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $\ell $
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1973
%P 1-48
%V 23
%N 3
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.471/
%R 10.5802/aif.471
%G fr
%F AIF_1973__23_3_1_0
Gras, Georges. Sur les $\ell $-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $\ell $. Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 1-48. doi : 10.5802/aif.471. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.471/

[1] E. Artin, Algebraic Numbers and algebraic Functions, Lectures notes by I. Adamson, Gordon and Breach, New York, (1967). | MR | Zbl

[2] E. Artin and J. Tate, Class Field Theory, Benjamin, New York, (1967). | Zbl

[3] H. Bauer, Die 2-Klassenzahlen spezieller quadratischer Zahlkörper, J.f.d.r.u.a. Math., 252 (1972). | EuDML | MR | Zbl

[4] H. Bauer, Uber die kubischen Klassenkörper zyklischer kubischer Zahlkörper, Dissertation, Karlsruhe Universität (1970).

[5] L. Bouvier et J.J. Payan, Construction de certaines extensions de degré p, Séminaire de théorie des nombres de Grenoble (1972). | EuDML

[6] L. Bouvier, Table des 2-rang, 4-rang et 8-rang du 2-groupe des classes d'idéaux au sens restreint de Q(√m)..., L'Ens. Math. IIe série, t. XVIII, 1, (1972), 37-45. | MR | Zbl

[7] C. Chevalley, Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux, Jour. of the Fac. of Sc., Tokyo, Vol. II, Part 9 (1933). | EuDML | JFM | Zbl

[8] P. Damey et J.J. Payan, Existence et construction des extensions galoisiennes et non abéliennes de degré 8 d'un corps de caractéristique différente de 2, J.f.d.r.u.a. Math., B. 244 (1970). | EuDML | MR | Zbl

[9] A. Fröhlich, The generalization of a theorem of L. Rédei's, Qart. Jour. of math. Oxford (2), 5 (1954), 13-140. | MR | Zbl

[10] G. Gras, Extensions abéliennes non ramifiées de degré premier d'un corps quadratique, Bull. Soc. Math. France, 100 (1972). | Numdam | MR | Zbl

[11] G. Gras, Sur le l-groupe des classes des extensions cycliques de degré premier l, Note C.R.A.S., t. 274 (1972), 1145-1148. | MR | Zbl

[12] G. Gras, Etude du l-groupe des classes des extensions cycliques de degré l, Sém. Delange-Pisot-Poitou, 13e année, (1971-1972), n° 20. | Numdam | Zbl

[13] M.N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q (à paraître au journal de Crelle). | Zbl

[14] H. Hasse, Über die Klassenzahl des Körpers P(√—p) mit einer Primzahl p ≡ 1 mod 23, Aequationes math. 3 (1969). | MR | Zbl

[15] H. Hasse, Über die Klassenzahl des Körpers P(√—2p) mit einer Primzahl p ≠ 2, J. of Number theory., 1 (1969), 231-234. | MR | Zbl

[16] H. Hasse, Über die Teilbarkeit durch 23 der Klassenzahl imaginärquadratischer Zahlkörper mit genau zwei verschiedenen Diskriminantenprimteilern, j.f.d.r.u.a. Math., 241 (1970). | MR | Zbl

[17] D. Hilbert, Théorie des corps de nombres algébriques, trad. T. Got et A. Levy, Hermann, (1913).

[18] E. Inaba, Uber die Struktur der l-klassengruppe zyklischer Zahlkörper von Primzahlgrad l, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I 4 (1940), 61-115. | JFM | MR | Zbl

[19] K. Iwasawa, A note on the group of units of an algebraic Number Field, J. Math. Pures et App., 35 (1956), 189-192. | MR | Zbl

[20] P. Kaplan, Divisibilité par 8 du nombre de classes des corps quadratiques réels dont le 2-sous-groupe des classes est cyclique, Note, C.R.A.S., t. 275, 887-890. | MR | Zbl

[21] P. Kaplan, Divisibilité par 8 du nombre de classes des corps quadratiques dont le 2-sous-groupe des classes est cyclique et réciprocité biquadratique, à paraître au J. Math. Soc. of Japan. | Zbl

[22] H. Kisilevsky, Some results related to Hilbert's Theorem 94, J. of Number theory, 2 (1970), 199-206. | MR | Zbl

[23] S. Kobayashi, On the l-dimension of the ideal class group of Kummer extensions of a certain type, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Vol. 18 N° 2, 399-404. | MR | Zbl

[24] S. Kobayashi, On the 3-rank of the ideal class group of certain pure cubic fields (à paraître).

[25] T. Kubota, Uber den bizyklischen biquadratischen Zahlkorper Nagoya Math. J. 10-12 (1956), 65-85. | MR | Zbl

[26] S.N. Kuroda, On the Class Number of Imaginary quadratic Number Fields, Proceedings of Japan Academy, 8, 1965. | Zbl

[27] S. Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Pub. comp., New York 1970. | MR | Zbl

[28] H.W. Leopoldt, Zur Geschlechtertheorie in abelschen Zahlkörpern, Math. Nachr., 9 (1953), 351-362. | MR | Zbl

[29] J.J. Payan, Sur les classes ambiges et les ordres monogènes d'une extension cyclique de degré premier impair sur Q ou sur un corps quadratique imaginaire, à paraître à Arkiv för mathematik. | Zbl

[30] L. Redei und H. Reichardt, Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers, J. f.d.r.u.a. Math., 170 (1933). | JFM | Zbl

[31] J.P. Serre, Corps locaux, Act. Sc. et ind., Paris 1962. | MR | Zbl

[32] D. Shanks, Gauss's Ternary form reduction and the 2-Sylow sub-group, Math. of computation, 25 (1971), 837-853. | MR | Zbl

[33] O. Taussky, A remark concerning Hilbert's Theorem 94, J.f.d.r.u.a. Math., 239/240 (1970), 435-438. | MR | Zbl

Cité par Sources :