Combinatorial structure of Sturmian words and continued fraction expansion of Sturmian numbers

Bugeaud, Yann; Laurent, Michel

doi:10.5802/aif.3561

Combinatorial structure of Sturmian words and continued fraction expansion of Sturmian numbers
[Structure combinatoire des mots sturmiens et développement en fraction continue des nombres sturmiens]

Bugeaud, Yann ^1,² ; Laurent, Michel ³

¹ IRMA, UMR7501 Université de Strasbourg et CNRS 7, rue René Descartes 67084 Strasbourg (France)
² Institut universitaire de France
³ Aix-Marseille Université CNRS Institut de Mathématiques de Marseille 163 avenue de Luminy, Case 907 13288 Marseille Cedex 9 (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2029-2078.

Résumé
Abstract

Soit $θ = [0; a_{1}, a_{2}, \dots]$ le développement en fraction continue d’un nombre irrationnel $θ \in (0, 1)$ et soit $q_{k}$ le dénominateur de la $k$ -ième réduite de $θ$ . On sait que les préfixes $M_{k}$ de longueur $q_{k}$ du mot sturmien caractéristique de pente $θ$ vérifient la relation de récurrence $M_{k} = M_{k - 1}^{a_{k}} M_{k - 2}$ pour tout $k \geq 2$ . Nous établissons une relation de concaténation analogue pour les préfixes d’un mot sturmien quelconque $s$ . Soit $b$ un entier $\geq 2$ . Nous obtenons en deuxième lieu une formule explicite pour le développement en fraction continue de tout nombre réel $ξ \in (0, 1)$ dont la suite des chiffres en base $b$ forme une suite sturmienne $s$ sur l’alphabet ${0, b - 1}$ . On généralise ainsi un résultat classique de Böhmer qui traitait le cas particulier où $s$ est une suite sturmienne caractéristique. Nous en déduisons une formule donnant l’exposant d’irrationalité de $ξ$ en fonction de la pente et de l’intercept de $s$ .

Let $θ = [0; a_{1}, a_{2}, \dots]$ be the continued fraction expansion of an irrational real number $θ \in (0, 1)$ . It is well-known that the characteristic Sturmian word of slope $θ$ is the limit of a sequence of finite words ${(M_{k})}_{k \geq 0}$ , with $M_{k}$ of length $q_{k}$ (the denominator of the $k$ -th convergent to $θ$ ) being a suitable concatenation of $a_{k}$ copies of $M_{k - 1}$ and one copy of $M_{k - 2}$ . Our first result extends this to any Sturmian word $s$ . Let $b \geq 2$ be an integer. Our second result gives the continued fraction expansion of any real number $ξ$ whose $b$ -ary expansion is a Sturmian word $s$ over the alphabet ${0, b - 1}$ . This extends a classical result of Böhmer who considered only the case where $s$ is characteristic. As a consequence, we obtain a formula for the irrationality exponent of $ξ$ in terms of the slope and the intercept of $s$ .

Reçu le : 2021-08-16
Accepté le : 2022-05-12
Publié le : 2023-10-09

DOI : 10.5802/aif.3561

Classification : 11J04, 11J70, 11J81, 68R15
Keywords: Rational approximation, continued fraction, transcendence, Sturmian sequence, combinatorics on words.
Mot clés : Approximation rationnelle, fraction continue, transcendance, suite sturmienne, combinatoire des mots.

Affiliations des auteurs :

Bugeaud, Yann ^{1, 2} ; Laurent, Michel ³

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Bugeaud, Yann; Laurent, Michel. Combinatorial structure of Sturmian words and continued fraction expansion of Sturmian numbers. Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2029-2078. doi : 10.5802/aif.3561. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3561/

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