no. 3
Interprétation cristalline de l’isomorphisme de Deligne–Illusie
Huyghe, Christine1 ; Wach, Nathalie1
1 IRMA 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 3, pp. 1133-1201.

Soit k un corps fini de caractéristique p>0, W(k) l’anneau des vecteurs de Witt de k, X un schéma lisse sur specW(k) de dimension <p-1, X 0 la fibre spéciale de X. En 1987, Deligne et Illusie ont démontré la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham d’une façon purement algébrique, en construisant un quasi-isomorphisme dans la catégorie dérivée entre le complexe de de Rham de X 0 et un complexe à différentielles nulles. Concomitamment, Fontaine et Messing ont construit un Frobenius divisé sur les complexes cristallins associés à X 0 . Nous montrons que ces deux morphismes de catégories dérivées sont compatibles. Comme application de cette compatibilité, nous donnons la structure du φ-module filtré modp et celle du (φ,Γ)-module associé à la courbe de Drinfeld.

Let k be a finite field of characteristic p>0, W(k) the ring of Witt vectors of k, X a smooth scheme over specW(k) of dimension <p-1 and X 0 the special fiber of X. In 1987, Deligne and Illusie proved the degeneration of the spectral sequence “de Hodge vers de Rham” in a purely algebraic way, by constructing a quasi-isomorphism at the level of derived categories between the de Rham complex of X 0 with a complex with 0 differentials. Simultaneously Fontaine and Messing constructed a divided Frobenius map on the crystalline complexes associated with X 0 . We show that both morphisms of derived categories are compatible mod p>0. We use this compatibility to compute the filtered φ-module modp and the (φ,Γ)-module modp associated to the Drinfeld Curve.

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DOI : 10.5802/aif.3545
Classification : 11S23, 14F30, 14F40
Mot clés : courbe de Drinfeld, cohomologie cristalline, cohomologie de De Rham, module $(\varphi ,\Gamma )$
Keywords: Drinfeld curve, crystalline cohomology, de Rham cohomology, $(\varphi ,\Gamma )$-module.
Huyghe, Christine 1 ; Wach, Nathalie 1

1 IRMA 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Huyghe, Christine; Wach, Nathalie. Interprétation cristalline de l’isomorphisme de Deligne–Illusie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 3, pp. 1133-1201. doi : 10.5802/aif.3545. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3545/

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