Sur la méthode de résonance et sur un théorème concernant les espaces de type (B)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 23-30.

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations u n (x) définies dans un espace complet E est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions

∥un(x+y)∥≤∥un(x)∥+O(|un|·∥y∥)

uniformément pour x,y∈E et

inf∥y∥≤1[∥un(x+y)∥+∥un(x)∥-∥un(y)∥]≥O(|un|)

pour chaque x∈E, mais non nécessairement uniformément par rapport à x. Par l’utilisation d’une méthode de H. Lebesgue (méthode de résonance) on obtient alors le résultat. Si la suite {u n (x)} asymptotiquement sous-additive est telle que lim. sup. ∥u n (x)∥<∞ pour chaque x∈E, alors la suite des normes est bornée, c’est-à-dire |u n |≤μ<∞ pour n=1,2⋯.

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