[Central measures on multiplicative graphs, representations of Lie algebras and weight polytopes]
Nous associons un graphe multiplicatif au sens de Vershik et Kerov à chaque représentation de dimension finie d’une algèbre de Lie simple en considérant la décomposition de ses produits tensoriels successifs en représentations irréductibles. Pour chacune de ces représentations de dimension finie, il a été montré en [11] et [12] que le conditionnement d’un chemin de Littelmann aléatoire à rester dans la chambre de Weyl est décrit par les mesures centrales sur le graphe multiplicatif associé. En utilisant la K-théorie des -algèbres correspondantes, Handelman a établi un homéomorphisme entre l’ensemble des mesures centrales sur un de ces graphes multiplicatifs et le polytope des poids de la représentation sous-jacente. Dans cet article, nous rendons explicite l’homéomorphisme d’Handelman en utilisant les modèles de chemins de Littelmann. On obtient en conséquence une paramétrisation du polytope des poids en termes de dérives de chemins de Littelmann aléatoires. La paramétrisation explicite donne une description complète des fonctions harmoniques et -harmoniques pour les modèles de chemins de Littelmann décrivant les itérations de produits tensoriels d’une représentation irréductible.
To each finite-dimensional representation of a simple Lie algebra is associated a multiplicative graph in the sense of Kerov and Vershik defined from the decomposition of its tensor powers into irreducible components. It was shown in [11] and [12] that the conditioning of natural random Littelmann paths to stay in their corresponding Weyl chamber is controlled by central measures on this type of graphs. Using the K-theory of associated -algebras, Handelman [8] established a homeomorphism between the set of central measures on these multiplicative graphs and the weight polytope of the underlying representation. In the present paper, we make explicit this homeomorphism independently of Handelman’s results by using Littelmann’s path model. As a by-product we also get an explicit parametrization of the weight polytope in terms of drifts of random Littelmann paths. This explicit parametrization yields a complete description of harmonic and -harmonic functions for the Littelmann path model describing the iterated tensor product of an irreducible representation.
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Keywords: représentation d’algèbre de Lie, mesure harmonique, chemin de Littelmann
Mot clés : representation of Lie algebras, harmonic measure, Littelmann’s paths model
Lecouvey, Cédric 1 ; Tarrago, Pierre 2
CC-BY-ND 4.0
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Lecouvey, Cédric; Tarrago, Pierre. Mesures centrales pour les graphes multiplicatifs, représentations d’algèbres de Lie et polytopes des poids. Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 6, pp. 2361-2407. doi : 10.5802/aif.3350. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3350/
[1] On the generating functions of totally positive sequences, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 37 (1951), pp. 303-307 | DOI | MR | Zbl
[2] Littelmann paths and Brownian paths, Duke Math. J., Volume 130 (2005) no. 1, pp. 127-167 | DOI | MR | Zbl
[3] Éléments de mathématique. Fasc. XXX. Algèbre commutative. Chapitre 5: Entiers. Chapitre 6: Valuations, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1308, Hermann, 1964, 207 pages | MR | Zbl
[4] Littelmann path model for geometric crystals, Whittaker functions on Lie groups and Brownian motion, Ph. D. Thesis, Université Paris VI - Pierre et Marie Curie (France) (2013) (https://arxiv.org/abs/1302.0902)
[5] Affine Lie algebras and conditioned space-time Brownian motions in affine Weyl chambers, Probab. Theory Relat. Fields, Volume 165 (2016) no. 3-4, pp. 649-665 | DOI | MR | Zbl
[6] Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer, 1991, xvi+551 pages | DOI | MR | Zbl
[7] Coherent permutations with descent statistic and the boundary problem for the graph of zigzag diagrams, Int. Math. Res. Not., Volume 2006 (2006) no. 4, 51968, 39 pages | DOI | MR | Zbl
[8] Extending traces on fixed point algebras under xerox product type actions of compact Lie groups, J. Funct. Anal., Volume 72 (1987) no. 1, pp. 44-57 | DOI | MR | Zbl
[9] Positive polynomials, convex integral polytopes, and a random walk problem, Lecture Notes in Mathematics, 1282, Springer, 1987, xii+136 pages | DOI | MR | Zbl
[10] Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29, Cambridge University Press, 1990, xii+204 pages | DOI | MR | Zbl
[11] Random walks in Weyl chambers and crystals, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 104 (2012) no. 2, pp. 323-358 | DOI | MR | Zbl
[12] Conditioned random walks from Kac-Moody root systems, Trans. Am. Math. Soc., Volume 368 (2016) no. 5, pp. 3177-3210 | DOI | MR | Zbl
[13] Harmonic functions on multiplicative graphs and inverse Pitman transform on infinite random paths, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 27 (2018) no. 3, pp. 629-666 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[14] A Littlewood-Richardson rule for symmetrizable Kac-Moody algebras, Invent. Math., Volume 116 (1994) no. 1-3, pp. 329-346 | DOI | MR | Zbl
[15] Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, 1995, x+475 pages (With contributions by A. Zelevinsky) | MR | Zbl
[16] A path-transformation for random walks and the Robinson-Schensted correspondence, Trans. Am. Math. Soc., Volume 355 (2003) no. 9, pp. 3669-3697 | DOI | MR | Zbl
[17] Extremal traces on some group-invariant -algebras, J. Funct. Anal., Volume 49 (1982) no. 2, pp. 145-151 | DOI | MR | Zbl
[18] Extremal traces on some group-invariant -algebras. II, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 21 (1985) no. 2, pp. 433-438 | DOI | MR | Zbl
[19] Random walks in the quarter plane, discrete harmonic functions and conformal mappings, Stochastic Processes Appl., Volume 124 (2014) no. 10, pp. 3147-3178 (With an appendix by Sandro Franceschi) | DOI | MR | Zbl
[20] Robinson-Schensted-Knuth algorithm, jeu de taquin, and Kerov-Vershik measures on infinite tableaux, SIAM J. Discrete Math., Volume 28 (2014) no. 2, pp. 598-630 | DOI | MR | Zbl
[21] Some commutative subalgebras of a universal enveloping algebra, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., Volume 54 (1990) no. 1, p. 3-25, 221 | DOI | MR
Cité par Sources :
