no. 3
Orbital counting for some convergent groups
[Comptage orbital pour certains groupes convergents]
Peigné, Marc1 ; Tapie, Samuel2 ; Vidotto, Pierre2
1 Institut Denis Poisson, UMR 7013 Université de Tours Université d’Orléans CNRS 37200 Tours (France)
2 Laboratoire Jean Leray 2 rue de la Houssinière BP92208 44322 Nantes Cedex 3 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 3, pp. 1307-1340.

Nous construisons des variétés géométriquement finies à courbure strictement négative pincée, dont le flot géodésique possède une mesure de Bowen-Margulis non ergodique infinie, et dont la série de Poincaré converge à l’exposant δ Γ , et nous obtenons une estimation précise du comportement asymptotique de la fonction orbitale de ce groupe. Plus précisément, pour tout α∈]1,2[ et toute fonction à variations lentes L:ℝ→(0,+∞), nous construisons des variétés de Hadamard (X,g) de dimension N≥2 dont le groupe des isométries qui préservent l’orientation possède des sous-groupes discrets et géométriquement finis Γ tels que, lorsque R→+∞,

NΓ(R):=♯{γ∈Γ|d(o,γ·o)≤R}∼CΓ(o)L(R)RαeδΓR,

où C Γ (o) est une constante strictement positive qui dépend du point o.

We present examples of geometrically finite manifolds with pinched negative curvature, whose geodesic flow has infinite non-ergodic Bowen–Margulis measure and whose Poincaré series converges at the critical exponent δ Γ . We obtain an explicit asymptotic for their orbital growth function. Namely, for any α∈]1,2[ and any smooth slowly varying function L:ℝ→(0,+∞), we construct N-dimensional Hadamard manifolds (X,g) of negative and pinched curvature, whose group of oriented isometries possesses convergent geometrically finite subgroups Γ such that, as R→+∞,

NΓ(R):=♯{γ∈Γ|d(o,γ·o)≤R}∼CΓ(o)L(R)RαeδΓR,

for some C Γ (o)>0 depending on the base point o.

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DOI : 10.5802/aif.3335
Classification : 58F17, 58F20, 20H10
Keywords: Poincaré exponent, convergent/divergent groups, orbital function
Mot clés : exposant de Poincaré, groupe convergent/divergent, fonction orbitale

Peigné, Marc 1 ; Tapie, Samuel 2 ; Vidotto, Pierre 2

1 Institut Denis Poisson, UMR 7013 Université de Tours Université d’Orléans CNRS 37200 Tours (France)
2 Laboratoire Jean Leray 2 rue de la Houssinière BP92208 44322 Nantes Cedex 3 (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Peigné, Marc; Tapie, Samuel; Vidotto, Pierre. Orbital counting for some convergent groups. Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 3, pp. 1307-1340. doi : 10.5802/aif.3335. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3335/

[1] Babillot, Martine; Peigné, Marc Asymptotic laws for geodesic homology on hyperbolic manifolds with cusps, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 134 (2006) no. 1, pp. 119-163 | DOI | MR

[2] Bourdon, Marc Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT (-1)-espace, Enseign. Math., Volume 41 (1995) no. 1-2, pp. 63-102 | MR

[3] Bowditch, Brian H. Geometrical finiteness with variable negative curvature, Duke Math. J., Volume 77 (1995) no. 1, pp. 229-274 | DOI | MR

[4] do Carmo, Manfredo Perdigão Riemannian geometry, Mathematics: Theory Applications, Birkhäuser, 1992, xiv+300 pages (Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty) | DOI | MR

[5] do Carmo, Manfredo Perdigão Differential geometry of curves & surfaces, Dover Publications, 2016, xvi+510 pages | MR

[6] Dal’bo, Françoise; Otal, Jean-Pierre; Peigné, Marc Séries de Poincaré des groupes géométriquement finis, Isr. J. Math., Volume 118 (2000), pp. 109-124 | DOI | MR

[7] Dal’bo, Françoise; Peigné, Marc Groupes du ping-pong et géodésiques fermées en courbure -1, Ann. Inst. Fourier, Volume 46 (1996) no. 3, pp. 755-799 | MR

[8] Dal’bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea Convergence and counting in infinite measure, Ann. Inst. Fourier, Volume 67 (2017) no. 2, pp. 483-520 | MR

[9] Gouëzel, Sébastien Correlation asymptotics from large deviations in dynamical systems with infinite measure, Colloq. Math., Volume 125 (2011) no. 2, pp. 193-212 | DOI | MR

[10] Hennion, Hubert Sur un théorème spectral et son application aux noyaux lipchitziens, Proc. Am. Math. Soc., Volume 118 (1993) no. 2, pp. 627-634 | DOI | MR

[11] Margulis, Grigoriǐ Aleksandrovich Certain applications of ergodic theory to the investigation of manifolds of negative curvature, Funkts. Anal. Prilozh., Volume 3 (1969) no. 4, pp. 89-90 | MR

[12] Otal, Jean-Pierre; Peigné, Marc Principe variationnel et groupes kleiniens, Duke Math. J., Volume 125 (2004) no. 1, pp. 15-44 | DOI | MR

[13] Peigné, Marc On the Patterson–Sullivan measure of some discrete group of isometries, Isr. J. Math., Volume 133 (2003), pp. 77-88 | DOI | MR

[14] Peigné, Marc On some exotic Schottky groups, Discrete Contin. Dyn. Syst., Volume 31 (2011) no. 2, pp. 559-579 | DOI | MR

[15] Pit, Vincent; Schapira, Barbara Finiteness of Gibbs measures on noncompact manifolds with pinched negative curvature, Ann. Inst. Fourier, Volume 68 (2018) no. 2, pp. 457-510 | MR

[16] Pollicott, Mark; Sharp, Richard Orbit counting for some discrete groups acting on simply connected manifolds with negative curvature, Invent. Math., Volume 117 (1994) no. 2, pp. 275-302 | DOI | MR

[17] Roblin, Thomas Ergodicité et équidistribution en courbure négative, Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. (2003) no. 95, p. vi+96 | DOI | MR

[18] Vidotto, Pierre Ergodic properties of some negatively curved manifolds with infinite measure, Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. (2019) no. 160, p. vi+132 | MR

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