no. 2
The algebraic functional equation of Riemann’s theta function
[L’équation fonctionnelle algébrique de la fonction thêta de Riemann]
Candelori, Luca1
1 Wayne State University Dept. of Mathematics 656 W. Kirby Detroit, MI, 48202 (USA)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 809-830.

Nous donnons un analogue algébrique de l’équation fonctionnelle de la fonction thêta de Riemann. Plus précisément, nous définissons un fibré en droites « multiplicateur thêta » sur le champ de modules de schémas abéliens principalement polarisés avec une caractéristique thêta et prouvons que son dual est isomorphe au fibré déterminant sur le champ de modules. Nous le faisons par des calculs explicites impliquant le groupe de Picard du champ de modules. Tout cela se fait sur l’anneau R=ℤ[1/2,i] : en passant aux nombres complexes, on retrouve l’équation fonctionnelle classique.

We give an algebraic analog of the functional equation of Riemann’s theta function. More precisely, we define a “theta multiplier” line bundle over the moduli stack of principally polarized abelian schemes with theta characteristic and prove that its dual is isomorphic to the determinant bundle over the moduli stack. We do so by explicit computations involving the Picard group of the moduli stack. This is all done over the ring R=ℤ[1/2,i]: passing to the complex numbers, we recover the classical functional equation.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/aif.3324
Classification : 11F03, 11F27, 11G10
Keywords: theta functions, modular forms, abelian varieties
Mot clés : fonctions thêta, formes modulaires, variétés abéliennes
Candelori, Luca 1

1 Wayne State University Dept. of Mathematics 656 W. Kirby Detroit, MI, 48202 (USA)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{AIF_2020__70_2_809_0,
     author = {Candelori, Luca},
     title = {The algebraic functional equation of {Riemann{\textquoteright}s} theta function},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {809--830},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {70},
     number = {2},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/aif.3324},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3324/}
}
TY  - JOUR
AU  - Candelori, Luca
TI  - The algebraic functional equation of Riemann’s theta function
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2020
SP  - 809
EP  - 830
VL  - 70
IS  - 2
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3324/
DO  - 10.5802/aif.3324
LA  - en
ID  - AIF_2020__70_2_809_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Candelori, Luca
%T The algebraic functional equation of Riemann’s theta function
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2020
%P 809-830
%V 70
%N 2
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3324/
%R 10.5802/aif.3324
%G en
%F AIF_2020__70_2_809_0
Candelori, Luca. The algebraic functional equation of Riemann’s theta function. Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 809-830. doi : 10.5802/aif.3324. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3324/

[1] Candelori, Luca The transformation laws of algebraic theta functions (2016) (https://arxiv.org/abs/1609.04486)

[2] Dieudonné, Jean Pseudo-discriminant and Dickson invariant, Pac. J. Math., Volume 5 (1955), pp. 907-910 (http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1172000953) | DOI | MR | Zbl

[3] Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li Degeneration of abelian varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 22, Springer, 1990, xii+316 pages (with an appendix by David Mumford) | DOI | MR | Zbl

[4] Fulton, William; Olsson, Martin The Picard group of ℳ 1,1 , Algebra Number Theory, Volume 4 (2010) no. 1, pp. 87-104 | DOI | Zbl

[5] Johnson, Dennis; Millson, John J. Modular Lagrangians and the theta multiplier, Invent. Math., Volume 100 (1990) no. 1, pp. 143-165 | DOI | MR | Zbl

[6] Knudsen, Finn Faye; Mumford, David The projectivity of the moduli space of stable curves. I. Preliminaries on “det” and “Div”, Math. Scand., Volume 39 (1976) no. 1, pp. 19-55 | DOI | MR | Zbl

[7] Moret-Bailly, Laurent Pinceaux de variétés abéliennes, Astérisque, 129, Société Mathématique de France, 1985 | Numdam | Zbl

[8] Moret-Bailly, Laurent Sur l’équation fonctionnelle de la fonction thêta de Riemann, Compos. Math., Volume 75 (1990) no. 2, pp. 203-217 | MR | Zbl

[9] Mumford, David Picard groups of moduli problems, Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963), Harper & Row, 1965, pp. 33-81 | MR | Zbl

[10] Mumford, David On the equations defining abelian varieties. I, Invent. Math., Volume 1 (1966), pp. 287-354 | DOI | MR | Zbl

[11] Mumford, David On the equations defining abelian varieties II, Invent. Math., Volume 3 (1967), pp. 75-135 | DOI | MR

[12] Mumford, David Abelian varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay; by Hindustan Book Agency, New Delhi, 2008 With appendices by C. P. Ramanujam and Yuri Manin, Corrected reprint of the second (1974) edition | MR | Zbl

[13] Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances C. Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Folge., 34, Springer, 1994, xiv+292 pages | DOI | MR

[14] Polishchuk, Alexander Determinant bundles for abelian schemes, Compos. Math., Volume 121 (2000) no. 3, pp. 221-245 | DOI | MR | Zbl

[15] Shin, Sug Woo Abelian varieties and Weil representations, Algebra Number Theory, Volume 6 (2012) no. 8, pp. 1719-1772 | DOI | MR | Zbl

[16] Wilson, Robert A. The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics, 251, Springer, 2009, xvi+298 pages | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :