Twisters and signed fundamental domains for number fields
[Des «  twisters  » et des domaines fondamentaux signés dans des corps de nombres]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 479-521.

Soit k un corps de nombres de degré n=r 1 +2r 2 admettant au moins une place réelle (i.e. r 1 >0). Nous présentons un domaine fondamental signé pour l’action des unités totalement positives E + de k sur + r 1 × * r 2 , où + désigne l’ensemble des nombres réels positifs. Le domaine fondamental signé est formé de cônes k-rationnels C α de dimension n, chacun muni d’un signe μ α =±1 avec la propriété suivante : pour chaque E + -orbite, la somme signée des intersections des cônes avec l’orbite est égale à 1.

Nous construisons explicitement les cônes C α et les signes μ α à partir d’un ensemble arbitraire d’unités fondamentales totalement positives et d’un ensemble de 3 r 2 « twisters » . Ces derniers sont des éléments de k dont les arguments aux r 2 places complexes de k sont suffisamment bien distribués. L’introduction des « twisters » fournit le nombre exact de générateurs pour les cônes C α et permet de les faire tourner autour de l’origine de façon contrôlée dans chaque plongement complexe.

We give a signed fundamental domain for the action on + r 1 × * r 2 of the totally positive units E + of a number field k of degree n=r 1 +2r 2 which we assume is not totally complex. Here r 1 and r 2 denote the number of real and complex places of k and + denotes the positive real numbers. The signed fundamental domain consists of n-dimensional k-rational cones C α , each equipped with a sign μ α =±1, with the property that the net number of intersections of the cones with any E + -orbit is 1.

The cones C α and the signs μ α are explicitly constructed from any set of fundamental totally positive units and a set of 3 r 2 “twisters”, i.e. elements of k whose arguments at the r 2 complex places of k are sufficiently varied. Introducing twisters gives us the right number of generators for the cones C α and allows us to make the C α turn in a controlled way around the origin at each complex embedding.

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DOI : https://doi.org/10.5802/aif.3318
Classification : 11R27,  11Y40,  11R42,  11R80
Mots clés : domaines de Shintani, corps de nombres, domaines fondamentaux, unités.
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     author = {Espinoza, Milton and Friedman, Eduardo},
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Espinoza, Milton; Friedman, Eduardo. Twisters and signed fundamental domains for number fields. Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 479-521. doi : 10.5802/aif.3318. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3318/

[1] Charollois, Pierre; Dasgupta, Samit; Greenberg, Matthew Integral Eisenstein cocycles on GL n , II: Shintani’s method, Comment. Math. Helv., Volume 90 (2015) no. 2, pp. 435-477 | Article | Zbl 1326.11072

[2] Colmez, Pierre Résidu en s=1 des fonctions zêta p-adiques, Invent. Math., Volume 91 (1988) no. 2, pp. 371-389 | Article | Zbl 0651.12010

[3] Diaz y Diaz, Francisco; Friedman, Eduardo Colmez cones for fundamental units of totally real cubic fields, J. Number Theory, Volume 132 (2012) no. 8, pp. 1653-1663 | Article | MR 2922336 | Zbl 1257.11097

[4] Diaz y Diaz, Francisco; Friedman, Eduardo Signed fundamental domains for totally real number fields, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 108 (2014) no. 4, pp. 965-988 | Article | MR 3198753 | Zbl 1325.11117

[5] Dold, Albrecht Lectures on algebraic topology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Volume 200, Springer, 1972 | Article | MR 415602 | Zbl 0872.55001

[6] Espinoza, Milton Signed Shintani cones for number fields with one complex place, J. Number Theory, Volume 145 (2014), pp. 496-539 | Article | MR 3253316 | Zbl 1307.11119

[7] Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon Shintani–Barnes zeta and gamma functions, Adv. Math., Volume 187 (2004) no. 2, pp. 362-395 | Article | MR 2078341 | Zbl 1112.11042

[8] Shintani, Takuro On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non-positive integers, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A, Volume 23 (1976), pp. 393-417 | MR 427231 | Zbl 0349.12007

[9] Shintani, Takuro A remark on zeta functions of algebraic number fields, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic (Bombay Colloquium, 1979) (1981), pp. 255-260 | Article | MR 633664 | Zbl 0503.12006