We give a signed fundamental domain for the action on of the totally positive units of a number field of degree which we assume is not totally complex. Here and denote the number of real and complex places of and denotes the positive real numbers. The signed fundamental domain consists of -dimensional -rational cones , each equipped with a sign , with the property that the net number of intersections of the cones with any -orbit is 1.
The cones and the signs are explicitly constructed from any set of fundamental totally positive units and a set of “twisters”, i.e. elements of whose arguments at the complex places of are sufficiently varied. Introducing twisters gives us the right number of generators for the cones and allows us to make the turn in a controlled way around the origin at each complex embedding.
Soit un corps de nombres de degré admettant au moins une place réelle (i.e. ). Nous présentons un domaine fondamental signé pour l’action des unités totalement positives de sur , où désigne l’ensemble des nombres réels positifs. Le domaine fondamental signé est formé de cônes -rationnels de dimension , chacun muni d’un signe avec la propriété suivante : pour chaque -orbite, la somme signée des intersections des cônes avec l’orbite est égale à 1.
Nous construisons explicitement les cônes et les signes à partir d’un ensemble arbitraire d’unités fondamentales totalement positives et d’un ensemble de « twisters » . Ces derniers sont des éléments de dont les arguments aux places complexes de sont suffisamment bien distribués. L’introduction des « twisters » fournit le nombre exact de générateurs pour les cônes et permet de les faire tourner autour de l’origine de façon contrôlée dans chaque plongement complexe.
Revised:
Accepted:
Published online:
Keywords: Shintani domains, number fields, fundamental domains, units.
Mot clés : domaines de Shintani, corps de nombres, domaines fondamentaux, unités.
Espinoza, Milton 1; Friedman, Eduardo 2
@article{AIF_2020__70_2_479_0, author = {Espinoza, Milton and Friedman, Eduardo}, title = {Twisters and signed fundamental domains for number fields}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {479--521}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {70}, number = {2}, year = {2020}, doi = {10.5802/aif.3318}, language = {en}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3318/} }
TY - JOUR AU - Espinoza, Milton AU - Friedman, Eduardo TI - Twisters and signed fundamental domains for number fields JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2020 SP - 479 EP - 521 VL - 70 IS - 2 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3318/ DO - 10.5802/aif.3318 LA - en ID - AIF_2020__70_2_479_0 ER -
%0 Journal Article %A Espinoza, Milton %A Friedman, Eduardo %T Twisters and signed fundamental domains for number fields %J Annales de l'Institut Fourier %D 2020 %P 479-521 %V 70 %N 2 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3318/ %R 10.5802/aif.3318 %G en %F AIF_2020__70_2_479_0
Espinoza, Milton; Friedman, Eduardo. Twisters and signed fundamental domains for number fields. Annales de l'Institut Fourier, Volume 70 (2020) no. 2, pp. 479-521. doi : 10.5802/aif.3318. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3318/
[1] Integral Eisenstein cocycles on GL, II: Shintani’s method, Comment. Math. Helv., Volume 90 (2015) no. 2, pp. 435-477 | DOI | Zbl
[2] Résidu en des fonctions zêta -adiques, Invent. Math., Volume 91 (1988) no. 2, pp. 371-389 | DOI | Zbl
[3] Colmez cones for fundamental units of totally real cubic fields, J. Number Theory, Volume 132 (2012) no. 8, pp. 1653-1663 | DOI | MR | Zbl
[4] Signed fundamental domains for totally real number fields, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 108 (2014) no. 4, pp. 965-988 | DOI | MR | Zbl
[5] Lectures on algebraic topology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 200, Springer, 1972 | DOI | MR | Zbl
[6] Signed Shintani cones for number fields with one complex place, J. Number Theory, Volume 145 (2014), pp. 496-539 | DOI | MR | Zbl
[7] Shintani–Barnes zeta and gamma functions, Adv. Math., Volume 187 (2004) no. 2, pp. 362-395 | DOI | MR | Zbl
[8] On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non-positive integers, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A, Volume 23 (1976), pp. 393-417 | MR | Zbl
[9] A remark on zeta functions of algebraic number fields, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic (Bombay Colloquium, 1979) (1981), pp. 255-260 | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: