Twisters and signed fundamental domains for number fields

Espinoza, Milton; Friedman, Eduardo

doi:10.5802/aif.3318

Twisters and signed fundamental domains for number fields
[Des « twisters » et des domaines fondamentaux signés dans des corps de nombres]

Espinoza, Milton ¹ ; Friedman, Eduardo ²

¹ Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Valparaíso Gran Bretaña 1091, 3er piso, Valparaíso (Chile)
² Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de Chile Casilla 653, Santiago (Chile)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 479-521.

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps de nombres de degré $n = r_{1} + 2 r_{2}$ admettant au moins une place réelle (i.e. $r_{1} > 0$ ). Nous présentons un domaine fondamental signé pour l’action des unités totalement positives $E_{+}$ de $k$ sur $ℝ_{+}^{r_{1}} \times {ℂ^{*}}^{r_{2}}$ , où $ℝ_{+}$ désigne l’ensemble des nombres réels positifs. Le domaine fondamental signé est formé de cônes $k$ -rationnels $C_{α}$ de dimension $n$ , chacun muni d’un signe $μ_{α} = \pm 1$ avec la propriété suivante : pour chaque $E_{+}$ -orbite, la somme signée des intersections des cônes avec l’orbite est égale à 1.

Nous construisons explicitement les cônes $C_{α}$ et les signes $μ_{α}$ à partir d’un ensemble arbitraire d’unités fondamentales totalement positives et d’un ensemble de $3^{r_{2}}$ « twisters » . Ces derniers sont des éléments de $k$ dont les arguments aux $r_{2}$ places complexes de $k$ sont suffisamment bien distribués. L’introduction des « twisters » fournit le nombre exact de générateurs pour les cônes $C_{α}$ et permet de les faire tourner autour de l’origine de façon contrôlée dans chaque plongement complexe.

We give a signed fundamental domain for the action on $ℝ_{+}^{r_{1}} \times {ℂ^{*}}^{r_{2}}$ of the totally positive units $E_{+}$ of a number field $k$ of degree $n = r_{1} + 2 r_{2}$ which we assume is not totally complex. Here $r_{1}$ and $r_{2}$ denote the number of real and complex places of $k$ and $ℝ_{+}$ denotes the positive real numbers. The signed fundamental domain consists of $n$ -dimensional $k$ -rational cones $C_{α}$ , each equipped with a sign $μ_{α} = \pm 1$ , with the property that the net number of intersections of the cones with any $E_{+}$ -orbit is 1.

The cones $C_{α}$ and the signs $μ_{α}$ are explicitly constructed from any set of fundamental totally positive units and a set of $3^{r_{2}}$ “twisters”, i.e. elements of $k$ whose arguments at the $r_{2}$ complex places of $k$ are sufficiently varied. Introducing twisters gives us the right number of generators for the cones $C_{α}$ and allows us to make the $C_{α}$ turn in a controlled way around the origin at each complex embedding.

Reçu le : 2018-09-04
Révisé le : 2019-02-04
Accepté le : 2019-03-12
Publié le : 2020-05-28

DOI : 10.5802/aif.3318

Classification : 11R27, 11Y40, 11R42, 11R80
Keywords: Shintani domains, number fields, fundamental domains, units.
Mot clés : domaines de Shintani, corps de nombres, domaines fondamentaux, unités.

Affiliations des auteurs :

Espinoza, Milton ¹ ; Friedman, Eduardo ²

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Espinoza, Milton; Friedman, Eduardo. Twisters and signed fundamental domains for number fields. Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 479-521. doi : 10.5802/aif.3318. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3318/

Bibliographie
Cité par

[1] Charollois, Pierre; Dasgupta, Samit; Greenberg, Matthew Integral Eisenstein cocycles on GL $_{n}$ , II: Shintani’s method, Comment. Math. Helv., Volume 90 (2015) no. 2, pp. 435-477 | DOI | Zbl

[2] Colmez, Pierre Résidu en $s = 1$ des fonctions zêta $p$ -adiques, Invent. Math., Volume 91 (1988) no. 2, pp. 371-389 | DOI | Zbl

[3] Diaz y Diaz, Francisco; Friedman, Eduardo Colmez cones for fundamental units of totally real cubic fields, J. Number Theory, Volume 132 (2012) no. 8, pp. 1653-1663 | DOI | MR | Zbl

[4] Diaz y Diaz, Francisco; Friedman, Eduardo Signed fundamental domains for totally real number fields, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 108 (2014) no. 4, pp. 965-988 | DOI | MR | Zbl

[5] Dold, Albrecht Lectures on algebraic topology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 200, Springer, 1972 | DOI | MR | Zbl

[6] Espinoza, Milton Signed Shintani cones for number fields with one complex place, J. Number Theory, Volume 145 (2014), pp. 496-539 | DOI | MR | Zbl

[7] Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon Shintani–Barnes zeta and gamma functions, Adv. Math., Volume 187 (2004) no. 2, pp. 362-395 | DOI | MR | Zbl

[8] Shintani, Takuro On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non-positive integers, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A, Volume 23 (1976), pp. 393-417 | MR | Zbl

[9] Shintani, Takuro A remark on zeta functions of algebraic number fields, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic (Bombay Colloquium, 1979) (1981), pp. 255-260 | DOI | MR | Zbl

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