L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions
[The adelic space of a torus over a function field]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954.

Let k be a field of characteristic 0 and let K be the function field of a smooth projective geometrically integral k-curve X. Let T be a K-torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points T(S,A K ) of T outside a finite set S of closed points of X. We start by proving that the group T(K) of rational points of T is always discrete (hence closed) in T(S,A K ). We then describe the quotient T(,A K )/T(K) in each of the following three cases: k is an algebraically closed field, k is the field of Laurent series ((t)), and k is a p-adic field.

Soient k un corps de caractéristique 0 et K le corps des fonctions d’une k-courbe projective lisse géométriquement intégre X. Soit T un K-tore. Dans cet article, on cherche à étudier l’espace des points adéliques T(S,A K ) de T hors d’un ensemble fini S de points fermés de X. On commence par montrer que le groupe T(K) des points rationnels de T est toujours fermé discret dans T(S,A K ). On décrit ensuite le quotient T(,A K )/T(K) dans chacun des trois cas suivants : k corps algébriquement clos, k=((t)) et k corps p-adique.

Received:
Revised:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.5802/aif.3286
Classification: 11E72, 12G05, 14G05, 14G27
Mot clés : Approximation forte, Groupe algébrique linéaire, Sous-groupe divisible maximal, Suite de Poitou–Tate
Keywords: Strong approximation, Linear algebraic group, Maximal divisible subgroup, Poitou–Tate exact sequence

Harari, David 1; Izquierdo, Diego 2

1 Université Paris Sud Mathématiques, Bâtiment 307, 91405 Orsay cedex (France)
2 Département de Mathématiques et Applications École Normale Supérieure CNRS, PSL Research University 45, Rue d’Ulm 75005 Paris (France)
License: CC-BY-ND 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights
@article{AIF_2019__69_5_1915_0,
     author = {Harari, David and Izquierdo, Diego},
     title = {L{\textquoteright}espace ad\'elique d{\textquoteright}un tore sur un corps de fonctions},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1915--1954},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {69},
     number = {5},
     year = {2019},
     doi = {10.5802/aif.3286},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3286/}
}
TY  - JOUR
AU  - Harari, David
AU  - Izquierdo, Diego
TI  - L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2019
SP  - 1915
EP  - 1954
VL  - 69
IS  - 5
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3286/
DO  - 10.5802/aif.3286
LA  - fr
ID  - AIF_2019__69_5_1915_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Harari, David
%A Izquierdo, Diego
%T L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2019
%P 1915-1954
%V 69
%N 5
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3286/
%R 10.5802/aif.3286
%G fr
%F AIF_2019__69_5_1915_0
Harari, David; Izquierdo, Diego. L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions. Annales de l'Institut Fourier, Volume 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954. doi : 10.5802/aif.3286. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3286/

[1] Cohn, Paul M. Basic algebra. Groups, rings and fields, Springer, 2003, xii+465 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Colliot-Thélène, Jean-Louis Approximation forte pour les espaces homogènes de groupes semi-simples sur le corps des fonctions d’une courbe algébrique complexe, Eur. J. Math., Volume 4 (2018) no. 1, pp. 177-184 | DOI | MR | Zbl

[3] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Gille, Philippe Remarques sur l’approximation faible sur un corps de fonctions d’une variable, Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties (Palo Alto, CA, 2002) (Progress in Mathematics), Volume 226, Birkhäuser, 2004, pp. 121-134 | DOI | MR | Zbl

[4] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Harari, David Dualité et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de ((t)), Proc. Lond. Math. Soc., Volume 110 (2015) no. 6, pp. 1475-1516 | DOI | MR | Zbl

[5] Fuchs, László Infinite abelian groups. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, 36, Academic Press Inc., 1970, xi+290 pages | MR | Zbl

[6] Harari, David Méthode des fibrations et obstruction de Manin, Duke Math. J., Volume 75 (1994) no. 1, pp. 221-260 | DOI | MR | Zbl

[7] Harari, David Le défaut d’approximation forte pour les groupes algébriques commutatifs, Algebra Number Theory, Volume 2 (2008) no. 5, pp. 595-611 | DOI | MR | Zbl

[8] Harari, David; Scheiderer, Claus; Szamuely, Tamás Weak approximation for tori over p-adic function fields, Int. Math. Res. Not. (2015) no. 10, pp. 2751-2783 | DOI | MR | Zbl

[9] Harari, David; Szamuely, Tamás Local-global questions for tori over p-adic function fields, J. Algebr. Geom., Volume 25 (2016) no. 3, pp. 571-605 | DOI | MR | Zbl

[10] Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. Abstract harmonic analysis. Vol. I. Structure of topological groups, integration theory, group representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Springer, 1979, ix+519 pages | MR | Zbl

[11] Hochschild, Gerhard P. Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, Graduate Texts in Mathematics, 75, Springer, 1981, viii+267 pages | MR | Zbl

[12] Izquierdo, Diego Théorèmes de dualité pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs, Math. Z., Volume 284 (2016) no. 1-2, pp. 615-642 | DOI | MR | Zbl

[13] Izquierdo, Diego Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 145 (2017) no. 2, pp. 267-293 | DOI | MR | Zbl

[14] Jannsen, Uwe Principe de Hasse cohomologique, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1989–90 (Progress in Mathematics), Volume 102, Birkhäuser, 1992, pp. 121-140 | DOI | MR | Zbl

[15] Kahn, Bruno Applications of weight-two motivic cohomology, Doc. Math., Volume 1 (1996), pp. 395-416 | MR | Zbl

[16] Mattuck, Arthur Abelian varieties over p-adic ground fields, Ann. Math., Volume 62 (1955), pp. 92-119 | DOI | MR | Zbl

[17] Milne, James S. Arithmetic duality theorems, BookSurge, 2006, viii+339 pages | MR | Zbl

[18] Sansuc, Jean-Jacques Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., Volume 327 (1981), pp. 12-80 | DOI | MR | Zbl

[19] Serre, Jean-Pierre Corps locaux, Publications de l’Université de Nancago, VIII, Hermann, 1968, 245 pages | MR | Zbl

[20] Serre, Jean-Pierre Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics, 5, Springer, 1994, x+181 pages | DOI | MR | Zbl

[21] Skorobogatov, Alexei Torsors and rational points, Cambridge Tracts in Mathematics, 144, Cambridge University Press, 2001, viii+187 pages | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: