L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions

Harari, David; Izquierdo, Diego

doi:10.5802/aif.3286

L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions
[The adelic space of a torus over a function field]

Harari, David ¹; Izquierdo, Diego ²

¹ Université Paris Sud Mathématiques, Bâtiment 307, 91405 Orsay cedex (France)
² Département de Mathématiques et Applications École Normale Supérieure CNRS, PSL Research University 45, Rue d’Ulm 75005 Paris (France)

Annales de l'Institut Fourier, Volume 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954.

Abstract
Résumé

Let $k$ be a field of characteristic 0 and let $K$ be the function field of a smooth projective geometrically integral $k$ -curve $X$ . Let $T$ be a $K$ -torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points $T (S, A_{K})$ of $T$ outside a finite set $S$ of closed points of $X$ . We start by proving that the group $T (K)$ of rational points of $T$ is always discrete (hence closed) in $T (S, A_{K})$ . We then describe the quotient $T (\emptyset, A_{K}) / T (K)$ in each of the following three cases: $k$ is an algebraically closed field, $k$ is the field of Laurent series $ℂ ((t))$ , and $k$ is a $p$ -adic field.

Soient $k$ un corps de caractéristique 0 et $K$ le corps des fonctions d’une $k$ -courbe projective lisse géométriquement intégre $X$ . Soit $T$ un $K$ -tore. Dans cet article, on cherche à étudier l’espace des points adéliques $T (S, A_{K})$ de $T$ hors d’un ensemble fini $S$ de points fermés de $X$ . On commence par montrer que le groupe $T (K)$ des points rationnels de $T$ est toujours fermé discret dans $T (S, A_{K})$ . On décrit ensuite le quotient $T (\emptyset, A_{K}) / T (K)$ dans chacun des trois cas suivants : $k$ corps algébriquement clos, $k = ℂ ((t))$ et $k$ corps $p$ -adique.

Received: 2018-03-05
Revised: 2018-06-15
Accepted: 2018-07-12
Published online: 2019-09-16

DOI: 10.5802/aif.3286

Classification: 11E72, 12G05, 14G05, 14G27
Keywords: Strong approximation, Linear algebraic group, Maximal divisible subgroup, Poitou–Tate exact sequence

Author's affiliations:

Harari, David ¹; Izquierdo, Diego ²

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Harari, David; Izquierdo, Diego. L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions. Annales de l'Institut Fourier, Volume 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954. doi : 10.5802/aif.3286. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3286/

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Cited by Sources:

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