L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions

Harari, David; Izquierdo, Diego

doi:10.5802/aif.3286

Harari, David ; Izquierdo, Diego

Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954.

Résumé
Abstract

Soient $k$ un corps de caractéristique 0 et $K$ le corps des fonctions d’une $k$ -courbe projective lisse géométriquement intégre $X$ . Soit $T$ un $K$ -tore. Dans cet article, on cherche à étudier l’espace des points adéliques $T (S, A_{K})$ de $T$ hors d’un ensemble fini $S$ de points fermés de $X$ . On commence par montrer que le groupe $T (K)$ des points rationnels de $T$ est toujours fermé discret dans $T (S, A_{K})$ . On décrit ensuite le quotient $T (\emptyset, A_{K}) / T (K)$ dans chacun des trois cas suivants : $k$ corps algébriquement clos, $k = ℂ ((t))$ et $k$ corps $p$ -adique.

Let $k$ be a field of characteristic 0 and let $K$ be the function field of a smooth projective geometrically integral $k$ -curve $X$ . Let $T$ be a $K$ -torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points $T (S, A_{K})$ of $T$ outside a finite set $S$ of closed points of $X$ . We start by proving that the group $T (K)$ of rational points of $T$ is always discrete (hence closed) in $T (S, A_{K})$ . We then describe the quotient $T (\emptyset, A_{K}) / T (K)$ in each of the following three cases: $k$ is an algebraically closed field, $k$ is the field of Laurent series $ℂ ((t))$ , and $k$ is a $p$ -adic field.

Reçu le : 2018-03-05
Révisé le : 2018-06-15
Accepté le : 2018-07-12
Publié le : 2019-09-16

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.3286
Classification : 11E72, 12G05, 14G05, 14G27
Mots clés : Approximation forte, Groupe algébrique linéaire, Sous-groupe divisible maximal, Suite de Poitou–Tate

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     author = {Harari, David and Izquierdo, Diego},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Harari, David; Izquierdo, Diego. L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions. Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954. doi : 10.5802/aif.3286. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3286/

Bibliographie

[1] Cohn, Paul M. Basic algebra. Groups, rings and fields, Springer, 2003, xii+465 pages | Article | MR 1935285 | Zbl 1003.00001

[2] Colliot-Thélène, Jean-Louis Approximation forte pour les espaces homogènes de groupes semi-simples sur le corps des fonctions d’une courbe algébrique complexe, Eur. J. Math., Tome 4 (2018) no. 1, pp. 177-184 | Article | MR 3782219 | Zbl 1401.20054

[3] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Gille, Philippe Remarques sur l’approximation faible sur un corps de fonctions d’une variable, Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties (Palo Alto, CA, 2002) (Progress in Mathematics) Tome 226, Birkhäuser, 2004, pp. 121-134 | Article | MR 2029865 | Zbl 1201.11066

[4] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Harari, David Dualité et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de $ℂ ((t))$ , Proc. Lond. Math. Soc., Tome 110 (2015) no. 6, pp. 1475-1516 | Article | MR 3356812 | Zbl 1391.11070

[5] Fuchs, László Infinite abelian groups. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, Tome 36, Academic Press Inc., 1970, xi+290 pages | MR 0255673 | Zbl 0209.05503

[6] Harari, David Méthode des fibrations et obstruction de Manin, Duke Math. J., Tome 75 (1994) no. 1, pp. 221-260 | Article | MR 1284820 | Zbl 0847.14001

[7] Harari, David Le défaut d’approximation forte pour les groupes algébriques commutatifs, Algebra Number Theory, Tome 2 (2008) no. 5, pp. 595-611 | Article | MR 2429455 | Zbl 1194.14067

[8] Harari, David; Scheiderer, Claus; Szamuely, Tamás Weak approximation for tori over $p$ -adic function fields, Int. Math. Res. Not. (2015) no. 10, pp. 2751-2783 | Article | MR 3352255 | Zbl 1349.11098

[9] Harari, David; Szamuely, Tamás Local-global questions for tori over $p$ -adic function fields, J. Algebr. Geom., Tome 25 (2016) no. 3, pp. 571-605 | Article | MR 3493592 | Zbl 1355.14018

[10] Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. Abstract harmonic analysis. Vol. I. Structure of topological groups, integration theory, group representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tome 115, Springer, 1979, ix+519 pages | MR 551496 | Zbl 0416.43001

[11] Hochschild, Gerhard P. Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, Graduate Texts in Mathematics, Tome 75, Springer, 1981, viii+267 pages | MR 620024 | Zbl 0589.20025

[12] Izquierdo, Diego Théorèmes de dualité pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs, Math. Z., Tome 284 (2016) no. 1-2, pp. 615-642 | Article | MR 3545508 | Zbl 1407.11130

[13] Izquierdo, Diego Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II, Bull. Soc. Math. Fr., Tome 145 (2017) no. 2, pp. 267-293 | Article | MR 3749786 | Zbl 06859827

[14] Jannsen, Uwe Principe de Hasse cohomologique, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1989–90 (Progress in Mathematics) Tome 102, Birkhäuser, 1992, pp. 121-140 | Article | MR 1476733 | Zbl 0745.11053

[15] Kahn, Bruno Applications of weight-two motivic cohomology, Doc. Math., Tome 1 (1996), pp. 395-416 | MR 1423901 | Zbl 0883.19002

[16] Mattuck, Arthur Abelian varieties over $p$ -adic ground fields, Ann. Math., Tome 62 (1955), pp. 92-119 | Article | MR 0071116 | Zbl 0066.02802

[17] Milne, James S. Arithmetic duality theorems, BookSurge, 2006, viii+339 pages | MR 2261462 | Zbl 1127.14001

[18] Sansuc, Jean-Jacques Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., Tome 327 (1981), pp. 12-80 | Article | MR 631309 | Zbl 0468.14007

[19] Serre, Jean-Pierre Corps locaux, Publications de l’Université de Nancago, Tome VIII, Hermann, 1968, 245 pages | MR 0354618 | Zbl 0137.02501

[20] Serre, Jean-Pierre Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics, Tome 5, Springer, 1994, x+181 pages | Article | MR 1324577 | Zbl 0812.12002

[21] Skorobogatov, Alexei Torsors and rational points, Cambridge Tracts in Mathematics, Tome 144, Cambridge University Press, 2001, viii+187 pages | Article | MR 1845760 | Zbl 0972.14015

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