Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds

Bonatti, Christian; Santiago, Bruno

doi:10.5802/aif.3121

Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds
[Existence de zéros communs pour les champs de vecteurs qui commutent sur les 3-variétés]

Bonatti, Christian ¹ ; Santiago, Bruno ¹

¹ Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584 du CNRS, Université de Bourgogne 9, Avenue Alain Savary 21000 Dijon (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 4, pp. 1741-1781.

Résumé
Abstract

En 1964, E. Lima a montré que des champs de vecteurs qui commutent sur une surface ont un zéro commun. Cette énoncé est trivial en dimension 3 puisque les caractéristiques d’Euler sont nulles dans ce cas. Cependant, C. Bonatti a proposé 1992 une version locale, en remplaçant la caractéristique d’Euler par l’indice de Poincaré–Hopf d’un champ de vecteurs $X$ dans une région $U$ , qu’on denote par $Ind (X, U)$ . Il a proposé la question suivante :

Étant donnés deux champs de vecteurs $X$ et $Y$ qui commutent et une région compacte $U$ sur lequel

Ind (X, U) \neq 0,

est-ce que $U$ contient un zéro commun de $X$ et $Y$ ?

Une réponse positive a été donnée dans le cas où $X$ et $Y$ sont réels analytiques, dans le même papier où la question au-dessus a été posée.

Dans cet article on montre existence de zéros communs pour les champs de vecteurs de classe $C^{1}$ qui commutent en dimension 3, pour toute région $U$ telle que l’indice $Ind (X, U)$ est non nul et en supposent en plus que le lieu de colinéarité entre $X$ et $Y$ est contenu dans une surface lisse. C’est une forte indication que le résultat pour les champs de vecteurs analytiques doit être vrai en régularité $C^{1}$ .

In 1964, E. Lima proved that commuting vector fields on surfaces with non-zero Euler characteristic have common zeros. Such statement is empty in dimension 3, since all the Euler characteristics vanish. Nevertheless, C. Bonatti proposed in 1992 a local version, replacing the Euler characteristic by the Poincaré–Hopf index of a vector field $X$ in a region $U$ , denoted by $Ind (X, U)$ ; he asked:

Given commuting vector fields $X, Y$ and a region $U$ where

Ind (X, U) \neq 0

does $U$ contain a common zero of $X$ and $Y$ ?

A positive answer was given in the case where $X$ and $Y$ are real analytic, in the same article where the above question was posed.

In this paper, we prove the existence of common zeros for commuting $C^{1}$ vector fields $X$ , $Y$ on a $3$ -manifold, in any region $U$ such that $Ind (X, U) \neq 0$ , assuming that the set of collinearity of $X$ and $Y$ is contained in a smooth surface. This is a strong indication that the results for analytic vector fields should hold in the $C^{1}$ setting.

Reçu le : 2015-06-15
Révisé le : 2016-06-08
Accepté le : 2016-10-27
Publié le : 2017-09-26

DOI : 10.5802/aif.3121

Classification : 37C25, 37C85, 57S05, 58C30
Keywords: commuting vector fields, fixed points, Poincaré–Hopf index
Mots-clés : Champs de vecteurs commutants, points fixes, indice de Poincaré–Hopf

Affiliations des auteurs :

Bonatti, Christian ¹ ; Santiago, Bruno ¹

¹ Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584 du CNRS, Université de Bourgogne 9, Avenue Alain Savary 21000 Dijon (France)

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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