Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds
[Existence de zéros communs pour les champs de vecteurs qui commutent sur les 3-variétés]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 4, pp. 1741-1781.

En 1964, E. Lima a montré que des champs de vecteurs qui commutent sur une surface ont un zéro commun. Cette énoncé est trivial en dimension 3 puisque les caractéristiques d’Euler sont nulles dans ce cas. Cependant, C. Bonatti a proposé 1992 une version locale, en remplaçant la caractéristique d’Euler par l’indice de Poincaré–Hopf d’un champ de vecteurs X dans une région U, qu’on denote par Ind(X,U). Il a proposé la question suivante :

Étant donnés deux champs de vecteurs X et Y qui commutent et une région compacte U sur lequel

Ind(X,U)0,

est-ce que U contient un zéro commun de X et Y ?

Une réponse positive a été donnée dans le cas où X et Y sont réels analytiques, dans le même papier où la question au-dessus a été posée.

Dans cet article on montre existence de zéros communs pour les champs de vecteurs de classe C1 qui commutent en dimension 3, pour toute région U telle que l’indice Ind(X,U) est non nul et en supposent en plus que le lieu de colinéarité entre X et Y est contenu dans une surface lisse. C’est une forte indication que le résultat pour les champs de vecteurs analytiques doit être vrai en régularité C1.

In 1964, E. Lima proved that commuting vector fields on surfaces with non-zero Euler characteristic have common zeros. Such statement is empty in dimension 3, since all the Euler characteristics vanish. Nevertheless, C. Bonatti proposed in 1992 a local version, replacing the Euler characteristic by the Poincaré–Hopf index of a vector field X in a region U, denoted by Ind(X,U); he asked:

Given commuting vector fields X,Y and a region U where

Ind(X,U)0

does U contain a common zero of X and Y?

A positive answer was given in the case where X and Y are real analytic, in the same article where the above question was posed.

In this paper, we prove the existence of common zeros for commuting C1 vector fields X, Y on a 3-manifold, in any region U such that Ind(X,U)0, assuming that the set of collinearity of X and Y is contained in a smooth surface. This is a strong indication that the results for analytic vector fields should hold in the C1 setting.

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DOI : 10.5802/aif.3121
Classification : 37C25, 37C85, 57S05, 58C30
Keywords: commuting vector fields, fixed points, Poincaré–Hopf index
Mots-clés : Champs de vecteurs commutants, points fixes, indice de Poincaré–Hopf

Bonatti, Christian 1 ; Santiago, Bruno 1

1 Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584 du CNRS, Université de Bourgogne 9, Avenue Alain Savary 21000 Dijon (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
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Bonatti, Christian; Santiago, Bruno. Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds. Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 4, pp. 1741-1781. doi : 10.5802/aif.3121. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3121/

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