Given a group and a number field , the Grunwald problem asks whether given field extensions of completions of at finitely many places can be approximated by a single field extension of with Galois group . This can be viewed as the case of constant groups in the more general problem of determining for which -groups the variety has weak approximation. We show that away from an explicit set of bad places both problems have an affirmative answer for iterated semidirect products with abelian kernel. Furthermore, we give counterexamples to both assertions at bad places. These turn out to be the first examples of transcendental Brauer–Manin obstructions to weak approximation for homogeneous spaces.
Pour un groupe et un corps de nombres , le problème de Grunwald est le suivant : étant données des extensions des complétés de en un ensemble fini de places, peut-on les approcher de façon simultanée par une seule extension de de groupe de Galois ? Cela peut être interprété comme un cas particulier de la question plus générale de déterminer pour quels -groupes la variété vérifie l’approximation faible. Nous démontrons qu’en dehors d’un ensemble explicite de mauvaises places, ces deux problèmes ont une réponse positive pour les groupes obtenus par des produits semi-directs itérés à noyau abélien. En outre, nous donnons des contre-exemples aux deux affirmations dans l’ensemble des mauvaises places. Ceux-ci sont par ailleurs les premiers exemples d’obstructions de Brauer–Manin transcendantes à l’approximation faible pour les espaces homogènes.
Revised:
Accepted:
Published online:
Keywords: Grunwald problem, Galois cohomology, homogeneous spaces, weak approximation, Brauer–Manin obstruction
Mot clés : Problème de Grunwald, cohomologie galoisienne, espaces homogènes, approximation faible, obstruction de Brauer–Manin
CC-BY-ND 4.0
@article{AIF_2017__67_3_1009_0,
author = {Demarche, Cyril and Lucchini Arteche, Giancarlo and Neftin, Danny},
title = {The {Grunwald} problem and approximation properties for homogeneous spaces},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
pages = {1009--1033},
publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
volume = {67},
number = {3},
year = {2017},
doi = {10.5802/aif.3104},
language = {en},
url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3104/}
}
TY - JOUR AU - Demarche, Cyril AU - Lucchini Arteche, Giancarlo AU - Neftin, Danny TI - The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2017 SP - 1009 EP - 1033 VL - 67 IS - 3 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3104/ DO - 10.5802/aif.3104 LA - en ID - AIF_2017__67_3_1009_0 ER -
%0 Journal Article %A Demarche, Cyril %A Lucchini Arteche, Giancarlo %A Neftin, Danny %T The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces %J Annales de l'Institut Fourier %D 2017 %P 1009-1033 %V 67 %N 3 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3104/ %R 10.5802/aif.3104 %G en %F AIF_2017__67_3_1009_0
Demarche, Cyril; Lucchini Arteche, Giancarlo; Neftin, Danny. The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces. Annales de l'Institut Fourier, Volume 67 (2017) no. 3, pp. 1009-1033. doi : 10.5802/aif.3104. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3104/
[1] Points rationnels sur les fibrations, Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001) (Bolyai Soc. Math. Stud.), Volume 12, Springer, 2003, pp. 171-221 | DOI
[2] Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes de tores, J. Théor. Nombres Bordx., Volume 26 (2014) no. 1, pp. 69-83 http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2014__26_1_69_0 | DOI
[3] Galois covers and the Hilbert-Grunwald property, Ann. Inst. Fourier, Volume 62 (2012) no. 3, pp. 989-1013 | DOI
[4] Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis, Math. Ann., Volume 346 (2010) no. 4, pp. 949-968 | DOI
[5] Ein allgemeines Existenztheorem für algebraische Zahlkörper, J. Reine Angew. Math., Volume 169 (1933), pp. 103-107 | DOI
[6] Quelques propriétés d’approximation reliées à la cohomologie galoisienne d’un groupe algébrique fini, Bull. Soc. Math. France, Volume 135 (2007) no. 4, pp. 549-564 | DOI
[7] La structure des -groupes de Sylow des groupes symétriques finis, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 65 (1948), pp. 239-276 | DOI
[8] Approximation faible et principe de Hasse pour des espaces homogènes à stabilisateur fini résoluble, Math. Ann., Volume 360 (2014) no. 3-4, pp. 1021-1039 | DOI
[9] Groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes à stabilisateur fini, J. Algebra, Volume 411 (2014), pp. 129-181 | DOI
[10] On solvable number fields, Invent. Math., Volume 53 (1979) no. 2, pp. 135-164 | DOI
[11] Cohomology of number fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Springer, 2008, xvi+825 pages | DOI
[12] Associative algebras, Graduate Texts in Mathematics, 88, Springer, 1982, xii+436 pages (Studies in the History of Modern Science, 9)
[13] Generic Galois extensions and problems in field theory, Adv. Math., Volume 43 (1982) no. 3, pp. 250-283 | DOI
[14] Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2002, x+210 pages (Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author)
[15] Torsors and rational points, Cambridge Tracts in Mathematics, 144, Cambridge University Press, 2001, viii+187 pages | DOI
[16] On Grunwald’s theorem, Ann. Math., Volume 51 (1950), pp. 471-484 | DOI
[17] Sylow -subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to , Proc. Amer. Math. Soc., Volume 6 (1955), pp. 529-533
Cited by Sources:
