Leafwise Dolbeault cohomology measures the obstruction to solve the Cauchy-Riemann problem along the leaves of a complex foliation. Using essentially methods of cohomology of groups, we compute this cohomology for two classes of complex foliations: i) the two dimensional complex affine Reeb foliations on the Hopf 5-manifold; ii) complex foliations on the hyperbolic torus (fibration over the circle whose fibre is the -dimensional torus and its monodromy is a hyperbolic and diagonalizable matrix all of whose eigenvalues are real and positive) obtained by locally free actions of the real affine Lie group.
La cohomologie de Dolbeault feuilletée mesure l’obstruction à résoudre le problème de Cauchy-Riemann le long des feuilles d’un feuilletage complexe. En utilisant des méthodes de cohomologie des groupes, nous calculons cette cohomologie pour deux classes de feuilletages : i) le feuilletage complexe affine de Reeb de dimension (complexe) 2 sur la variété de Hopf de dimension 5 ; ii) les feuilletages complexes sur le tore hyperbolique (fibration en tores de dimension n au-dessus d’un cercle et de monodromie une matrice hyperbolique à coefficients entiers diagonalisable et de valeurs propres réelles positives) donnés par des actions localement libres du groupe des transformations affines de la droite réelle.
Keywords: Complex foliation, $F$-holomorphy, Leafwise Dolbeault cohomology
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El Kacimi Alaoui, Aziz; Slimène, Jihène. Cohomologie de dolbeault le long des feuilles de certains feuilletages complexes. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 2, pp. 727-757. doi : 10.5802/aif.2538. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2538/
[1] Cohomology of Groups, GTM, 87, Springer-Verlag, 1982 | MR | Zbl
[2] Équations cohomologiques de flots riemanniens et de difféomorphismes d’Anosov, Journal of the Mathematical Society of Japan, Volume 54 (2007) no. 4, pp. 1105-1134 | DOI | MR | Zbl
[3] On the parameter dependence of solutions to the -equation, Math. Ann. (1991) no. 289, pp. 581-588 | DOI | MR | Zbl
[4] The along the leaves and Guichard’s Theorem for a simple complex foliation, Prépublication de l’Université de Valenciennes, 2008 (soumise)
[5] A class of -stable foliations, Ergod. Th. & Dynam. Sys. (1993) no. 13, pp. 697-704 | MR | Zbl
[6] Leafwise holomorphic functions, Proc. AMS, Volume 131 (2003) no. 6, pp. 1717-1725 | DOI | MR | Zbl
[7] Foliations with complex leaves, Diff. Geo. and its Applications (1995) no. 5, pp. 33-49 | DOI | MR | Zbl
[8] Sur quelques points d’algèbre homologique, Tohoku Math. J., Volume 9 (1957), pp. 119-221 | MR | Zbl
[9] An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, D. Van Nostrand Compagny. Inc., 1966 | MR | Zbl
[10] Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de Fourier-Borel, J. Analyse Math. (1963) no. 9, pp. 1-164 | DOI | MR | Zbl
[11] A smooth foliation of the -sphere by complex surfaces, Annals of Math. (2002) no. 156, pp. 915-930 | DOI | MR | Zbl
[12] Deux exemples de calcul explicite de cohomologie de Dolbeault feuilletée, Proyecciones, Volume 27 (2008) no. 1, pp. 63-80 | DOI | MR
Cited by Sources: