Transgression and Clifford algebras
Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 4, pp. 1337-1358.

Let W be a differential (not necessarily commutative) algebra which carries a free action of a polynomial algebra SP with homogeneous generators p 1 ,,p r . We show that for W acyclic, the cohomology of the quotient H(W/ <p 1 ,,p r >) is isomorphic to a Clifford algebra Cl(P,B), where the (possibly degenerate) bilinear form B depends on W. This observation is an analogue of an old result of Borel in a non-commutative context. As an application, we study the case of W given by the quantized Weil algebra 𝒲(𝔤)=U𝔤Cl𝔤 for 𝔤 a reductive Lie algebra. The resulting cohomology of the canonical Weil differential gives a Clifford algebra, but the bilinear form vanishes on the space of primitive invariants of the semi-simple part. As an application, we consider the deformed Weil differential (following Freed, Hopkins and Teleman ).

Soit W une algèbre différentielle (pas forcément commutative) munie d’une action libre d’une algèbre de polynôme SP engendrée par des générateurs homogènes p 1 ,,p r . Nous démontrons, que si W est acyclique, alors la cohomologie du quotient H(W/<p 1 ,,p r >) est isomorphe à une algèbre de Clifford Cl(P,B), où la forme bilinéaire B (qui peut être dégénérée) dépend de W. Cette observation est analogue à un ancien résultat de Borel, dans le contexte non commutatif. Comme application nous étudions le cas où W est l’algèbre de Weil quantifiée, 𝒲(𝔤)=U𝔤Cl𝔤 avec 𝔤 une algèbre de Lie réductive. La cohomologie résultante de la différentielle de Weil canonique est une algèbre de Clifford, mais la forme bilinéaire est nulle sur l’espace des invariants primitifs de la partie semi-simple. Comme application nous considérons également la différentielle de Weil déformée (introduite par par Freed, Hopkins and Teleman).

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Accepted:
DOI: 10.5802/aif.2466
Classification: 17B55,  15A75
Keywords: Lie algebras, Weil algebras, quantized Weil algebras, Clifford algebras, Transgression
Rohr, Rudolf Philippe 1

1 University of Geneva Department of Mathematics 2-4 rue du Lièvre, c.p. 64 1211 Geneva 4 (Suisse)
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