New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms
Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882.

Utilizing the theory of the Poisson transform, we develop some new concrete models for the Hecke theory in a space M λ (N) of Maass forms with eigenvalue 1/4-λ 2 on a congruence subgroup Γ 1 (N). We introduce the field F λ =(λ,n,n λ/2 n) so that F λ consists entirely of algebraic numbers if λ=0.

The main result of the paper is the following. For a packet Φ=(ν p pN) of Hecke eigenvalues occurring in M λ (N) we then have that either every ν p is algebraic over F λ , or else Φ will – for some m – occur in the first cohomology of a certain space W λ,m which is a space of continuous functions on the unit circle with an action of SL 2 () well-known from the theory of (non-unitary) principal representations of SL 2 ().

En utilisant la théorie de la transformation de Poisson on obtient des modèles concrets nouveaux de la théorie de Hecke dans un espace M λ (N) de formes d’onde de Maass avec la valeur propre 1/4-λ 2 sur un sous-groupe de congruence Γ 1 (N). On introduit le corps F λ =(λ,n,n λ/2 n) qui est constitué exclusivement des nombres algébriques si λ=0.

Le résultat principal est le suivant. Si Φ=(ν p pN) est un paquet de valeurs propres de Hecke apparaissant dans M λ (N) alors ou bien chaque ν p est algébrique sur F λ ou bien il y a un nombre m tel que Φ apparaît dans le premier groupe de cohomologie d’un certain espace W λ,m de fonctions continues sur le cercle unité avec une action de SL 2 () bien connue dans la théorie des représentations principales (non-unitaires) de SL 2 ().

DOI: 10.5802/aif.2316
Classification: 11F70, 11R39, 22E50
Keywords: Maass wave forms, Hecke operators, Hecke eigenvalues, Poisson transform.
Mot clés : formes d’ondes de Maass, opérateurs de Hecke, valeurs propres de Hecke, transformation de Poisson.
Kiming, Ian 1

1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark)
@article{AIF_2007__57_6_1863_0,
     author = {Kiming, Ian},
     title = {New models for the action of {Hecke} operators in spaces of {Maass} wave forms},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1863--1882},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {57},
     number = {6},
     year = {2007},
     doi = {10.5802/aif.2316},
     mrnumber = {2377889},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kiming, Ian
TI  - New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2007
SP  - 1863
EP  - 1882
VL  - 57
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/
DO  - 10.5802/aif.2316
LA  - en
ID  - AIF_2007__57_6_1863_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kiming, Ian
%T New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2007
%P 1863-1882
%V 57
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/
%R 10.5802/aif.2316
%G en
%F AIF_2007__57_6_1863_0
Kiming, Ian. New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms. Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882. doi : 10.5802/aif.2316. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/

[1] Ash, A.; Stevens, G. Cohomology of arithmetic groups and congruences between systems of Hecke eigenvalues, J. Reine Angew. Math., Volume 365 (1990), pp. 192-220 | MR | Zbl

[2] Blasius, D.; Clozel, L.; Ramakrishnan, D. Algébricité de l’action des opérateurs de Hecke sur certaines formes de Maass, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 305 (1987), pp. 705-708 | Zbl

[3] Blasius, D.; Clozel, L.; Ramakrishnan, D. Opérateurs de Hecke et formes de Maass: application de formule des traces, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 306 (1988), pp. 59-62 | MR | Zbl

[4] Bunke, U.; Olbrich, M. Cohomological properties of the smooth globalization of a Harish-Chandra module, Preprint, 1995 (http://xxx.lanl.gov/abs/math.RT/9508203)

[5] Bunke, U.; Olbrich, M. Fuchsian groups of the second kind and representations carried by the limit set, Invent. math., Volume 127 (1996), pp. 127-154 | DOI | MR | Zbl

[6] Flensted-Jensen, M. Analysis on non-Riemannian symmetric spaces, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Volume 61, AMS, 1986 | MR | Zbl

[7] Henniart, G. Erratum à l’exposé No. 711, Astérisque, Volume 201–203 (1991), pp. 485-486 | Numdam | Zbl

[8] Maaß, H. Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen, Math. Ann., Volume 121 (1949), pp. 141-183 | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: