no. 6
New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms
[Des modèles nouveaux pour l’action des opérateurs de Hecke dans les espaces des formes d’onde de Maass]
Kiming, Ian1
1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882.

En utilisant la théorie de la transformation de Poisson on obtient des modèles concrets nouveaux de la théorie de Hecke dans un espace M λ (N) de formes d’onde de Maass avec la valeur propre 1/4-λ 2 sur un sous-groupe de congruence Γ 1 (N). On introduit le corps F λ =ℚ(λ,n,n λ/2 ∣n∈ℕ) qui est constitué exclusivement des nombres algébriques si λ=0.

Le résultat principal est le suivant. Si Φ=(ν p ∣p∤N) est un paquet de valeurs propres de Hecke apparaissant dans M λ (N) alors ou bien chaque ν p est algébrique sur F λ ou bien il y a un nombre m∈ℕ tel que Φ apparaît dans le premier groupe de cohomologie d’un certain espace W λ,m de fonctions continues sur le cercle unité avec une action de SL 2 (ℝ) bien connue dans la théorie des représentations principales (non-unitaires) de SL 2 (ℝ).

Utilizing the theory of the Poisson transform, we develop some new concrete models for the Hecke theory in a space M λ (N) of Maass forms with eigenvalue 1/4-λ 2 on a congruence subgroup Γ 1 (N). We introduce the field F λ =ℚ(λ,n,n λ/2 ∣n∈ℕ) so that F λ consists entirely of algebraic numbers if λ=0.

The main result of the paper is the following. For a packet Φ=(ν p ∣p∤N) of Hecke eigenvalues occurring in M λ (N) we then have that either every ν p is algebraic over F λ , or else Φ will – for some m∈ℕ – occur in the first cohomology of a certain space W λ,m which is a space of continuous functions on the unit circle with an action of SL 2 (ℝ) well-known from the theory of (non-unitary) principal representations of SL 2 (ℝ).

DOI : 10.5802/aif.2316
Classification : 11F70, 11R39, 22E50
Keywords: Maass wave forms, Hecke operators, Hecke eigenvalues, Poisson transform.
Mots-clés : formes d’ondes de Maass, opérateurs de Hecke, valeurs propres de Hecke, transformation de Poisson.

Kiming, Ian 1

1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark) 
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Kiming, Ian. New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882. doi : 10.5802/aif.2316. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/

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