no. 6
New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms
[Des modèles nouveaux pour l’action des opérateurs de Hecke dans les espaces des formes d’onde de Maass]
Kiming, Ian1
1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882.

En utilisant la théorie de la transformation de Poisson on obtient des modèles concrets nouveaux de la théorie de Hecke dans un espace Mλ(N) de formes d’onde de Maass avec la valeur propre 1/4-λ2 sur un sous-groupe de congruence Γ1(N). On introduit le corps Fλ=ℚ(λ,n,nλ/2∣n∈ℕ) qui est constitué exclusivement des nombres algébriques si λ=0.

Le résultat principal est le suivant. Si Φ=(νp∣p∤N) est un paquet de valeurs propres de Hecke apparaissant dans Mλ(N) alors ou bien chaque νp est algébrique sur Fλ ou bien il y a un nombre m∈ℕ tel que Φ apparaît dans le premier groupe de cohomologie d’un certain espace Wλ,m de fonctions continues sur le cercle unité avec une action de SL2(ℝ) bien connue dans la théorie des représentations principales (non-unitaires) de SL2(ℝ).

Utilizing the theory of the Poisson transform, we develop some new concrete models for the Hecke theory in a space Mλ(N) of Maass forms with eigenvalue 1/4-λ2 on a congruence subgroup Γ1(N). We introduce the field Fλ=ℚ(λ,n,nλ/2∣n∈ℕ) so that Fλ consists entirely of algebraic numbers if λ=0.

The main result of the paper is the following. For a packet Φ=(νp∣p∤N) of Hecke eigenvalues occurring in Mλ(N) we then have that either every νp is algebraic over Fλ, or else Φ will – for some m∈ℕ – occur in the first cohomology of a certain space Wλ,m which is a space of continuous functions on the unit circle with an action of SL2(ℝ) well-known from the theory of (non-unitary) principal representations of SL2(ℝ).

DOI : 10.5802/aif.2316
Classification : 11F70, 11R39, 22E50
Keywords: Maass wave forms, Hecke operators, Hecke eigenvalues, Poisson transform.
Mots-clés : formes d’ondes de Maass, opérateurs de Hecke, valeurs propres de Hecke, transformation de Poisson.

Kiming, Ian 1

1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark) 
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Kiming, Ian. New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882. doi : 10.5802/aif.2316. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/

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