no. 6
New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms
[Des modèles nouveaux pour l’action des opérateurs de Hecke dans les espaces des formes d’onde de Maass]
Kiming, Ian1
1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882.

En utilisant la théorie de la transformation de Poisson on obtient des modèles concrets nouveaux de la théorie de Hecke dans un espace M λ (N) de formes d’onde de Maass avec la valeur propre 1/4-λ 2 sur un sous-groupe de congruence Γ 1 (N). On introduit le corps F λ =ℚ(λ,n,n λ/2 ∣n∈ℕ) qui est constitué exclusivement des nombres algébriques si λ=0.

Le résultat principal est le suivant. Si Φ=(ν p ∣p∤N) est un paquet de valeurs propres de Hecke apparaissant dans M λ (N) alors ou bien chaque ν p est algébrique sur F λ ou bien il y a un nombre m∈ℕ tel que Φ apparaît dans le premier groupe de cohomologie d’un certain espace W λ,m de fonctions continues sur le cercle unité avec une action de SL 2 (ℝ) bien connue dans la théorie des représentations principales (non-unitaires) de SL 2 (ℝ).

Utilizing the theory of the Poisson transform, we develop some new concrete models for the Hecke theory in a space M λ (N) of Maass forms with eigenvalue 1/4-λ 2 on a congruence subgroup Γ 1 (N). We introduce the field F λ =ℚ(λ,n,n λ/2 ∣n∈ℕ) so that F λ consists entirely of algebraic numbers if λ=0.

The main result of the paper is the following. For a packet Φ=(ν p ∣p∤N) of Hecke eigenvalues occurring in M λ (N) we then have that either every ν p is algebraic over F λ , or else Φ will – for some m∈ℕ – occur in the first cohomology of a certain space W λ,m which is a space of continuous functions on the unit circle with an action of SL 2 (ℝ) well-known from the theory of (non-unitary) principal representations of SL 2 (ℝ).

DOI : 10.5802/aif.2316
Classification : 11F70, 11R39, 22E50
Keywords: Maass wave forms, Hecke operators, Hecke eigenvalues, Poisson transform.
Mot clés : formes d’ondes de Maass, opérateurs de Hecke, valeurs propres de Hecke, transformation de Poisson.

Kiming, Ian 1

1 University of Copenhagen Department of Mathematics Universitetsparken 5 2100 Copenhagen Ø (Denmark) 
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Kiming, Ian. New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882. doi : 10.5802/aif.2316. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2316/

[1] Ash, A.; Stevens, G. Cohomology of arithmetic groups and congruences between systems of Hecke eigenvalues, J. Reine Angew. Math., Volume 365 (1990), pp. 192-220 | MR | Zbl

[2] Blasius, D.; Clozel, L.; Ramakrishnan, D. Algébricité de l’action des opérateurs de Hecke sur certaines formes de Maass, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 305 (1987), pp. 705-708 | Zbl

[3] Blasius, D.; Clozel, L.; Ramakrishnan, D. Opérateurs de Hecke et formes de Maass: application de formule des traces, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 306 (1988), pp. 59-62 | MR | Zbl

[4] Bunke, U.; Olbrich, M. Cohomological properties of the smooth globalization of a Harish-Chandra module, Preprint, 1995 (http://xxx.lanl.gov/abs/math.RT/9508203)

[5] Bunke, U.; Olbrich, M. Fuchsian groups of the second kind and representations carried by the limit set, Invent. math., Volume 127 (1996), pp. 127-154 | DOI | MR | Zbl

[6] Flensted-Jensen, M. Analysis on non-Riemannian symmetric spaces, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Volume 61, AMS, 1986 | MR | Zbl

[7] Henniart, G. Erratum à l’exposé No. 711, Astérisque, Volume 201–203 (1991), pp. 485-486 | Numdam | Zbl

[8] Maaß, H. Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen, Math. Ann., Volume 121 (1949), pp. 141-183 | DOI | MR | Zbl

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