We prove that, in the category of functors between -vector spaces, the tensor product between the second non constant standard injective functor and an exterior power functor is artinian. The only case known to date was the artinian character of this injective ; our result is a step in the study of the third non constant standard injective of .
We use the division functor by the identity functor and facts from modular representation theory of the symmetric groups to obtain this theorem by detecting suitable composition factors.
Nous démontrons que dans la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur , le produit tensoriel entre le second foncteur injectif standard non constant et un foncteur puissance extérieure est artinien. Seul était antérieurement connu le caractère artinien de cet injectif ; notre résultat constitue une étape pour l’étude du troisième foncteur injectif standard non constant de .
Nous utilisons le foncteur de division par le foncteur identité et des considérations issues de la théorie des représentations modulaires des groupes symétriques pour obtenir ce théorème par la détection de facteurs de composition convenables.
Mot clés : catégories de foncteurs, représentations modulaires, foncteurs de division, filtration de Krull
Keywords: Functor categories, modular representations, division functors, Krull filtration
Djament, Aurélien 1
@article{AIF_2007__57_6_1771_0, author = {Djament, Aur\'elien}, title = {Foncteurs de division et structure de $I^{\otimes 2}\otimes \Lambda ^n$ dans la cat\'egorie $\mathcal{F}$}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1771--1823}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {57}, number = {6}, year = {2007}, doi = {10.5802/aif.2313}, mrnumber = {2377886}, zbl = {1132.18002}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2313/} }
TY - JOUR AU - Djament, Aurélien TI - Foncteurs de division et structure de $I^{\otimes 2}\otimes \Lambda ^n$ dans la catégorie $\mathcal{F}$ JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2007 SP - 1771 EP - 1823 VL - 57 IS - 6 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2313/ DO - 10.5802/aif.2313 LA - fr ID - AIF_2007__57_6_1771_0 ER -
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Djament, Aurélien. Foncteurs de division et structure de $I^{\otimes 2}\otimes \Lambda ^n$ dans la catégorie $\mathcal{F}$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 6, pp. 1771-1823. doi : 10.5802/aif.2313. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2313/
[1] Catégories de foncteurs en grassmanniennes (2006) (arXiv :math.AT/0610598)
[2] Catégories de foncteurs en grassmanniennes et filtration de Krull (2006) (arXiv :math.RT/0611861)
[3] Représentations génériques des groupes linéaires : catégories de foncteurs en grassmanniennes, avec applications à la conjecture artinienne, Université Paris 13 (2006) (Ph. D. Thesis)
[4] Extensions entre puissances extérieures et entre puissances symétriques, J. Algebra, Volume 179 (1996) no. 2, pp. 501-522 | DOI | MR | Zbl
[5] General linear and functor cohomology over finite fields, Ann. of Math. (2), Volume 150 (1999) no. 2, pp. 663-728 | DOI | MR | Zbl
[6] Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math. France, Volume 90 (1962), pp. 323-448 | Numdam | MR | Zbl
[7] The categories of unstable modules and unstable algebras over the Steenrod algebra modulo nilpotent objects, Amer. J. Math., Volume 115 (1993) no. 5, pp. 1053-1106 | DOI | MR | Zbl
[8] The representation theory of the symmetric groups, Lecture Notes in Mathematics, 682, Springer, Berlin, 1978 | MR | Zbl
[9] Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. I, Amer. J. Math., Volume 116 (1994) no. 2, pp. 327-360 | DOI | MR | Zbl
[10] Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. II, -Theory, Volume 8 (1994) no. 4, pp. 395-428 | DOI | MR | Zbl
[11] Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un -groupe abélien élémentaire, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1992) no. 75, pp. 135-244 (avec un appendice de Michel Zisman) | DOI | Numdam | Zbl
[12] Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1995 (With contributions by A. Zelevinsky, Oxford Science Publications) | MR | Zbl
[13] Extensions entre foncteurs de la catégorie des espaces vectoriels sur le corps premier à éléments dans elle-même, Université Paris 7 (1995) (Ph. D. Thesis)
[14] Sous-objets de dans la catégorie des foncteurs entre -espaces vectoriels, J. Algebra, Volume 194 (1997) no. 1, pp. 53-78 | DOI | MR | Zbl
[15] Extensions de foncteurs simples, -Theory, Volume 15 (1998) no. 3, pp. 269-291 | DOI | MR | Zbl
[16] The Artinian conjecture for , J. Pure Appl. Algebra, Volume 128 (1998) no. 3, pp. 291-310 (With an appendix by Lionel Schwartz) | DOI | MR | Zbl
[17] Polynomial filtrations and Lannes’ -functor, -Theory, Volume 13 (1998) no. 3, pp. 279-304 | DOI | Zbl
[18] The structure of indecomposable injectives in generic representation theory, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 350 (1998) no. 10, pp. 4167-4193 | DOI | MR | Zbl
[19] On Artinian objects in the category of functors between -vector spaces, Infinite length modules (Bielefeld, 1998) (Trends Math.), Birkhäuser, Basel, 2000, pp. 213-228 | MR | Zbl
[20] The structure of the tensor product of with a finite functor between -vector spaces, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 50 (2000) no. 3, pp. 781-805 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[21] Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1994 | Zbl
Cited by Sources: