no. 3
Existence globale pour un fluide inhomogène
Abidi, Hammadi1 ; Paicu, Marius2
1 Université Paris 6 Laboratoire Jacques-Louis Lions 175, rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
2 Université Paris-Sud Laboratoire de Mathématiques Bât. 425 CNRS – UMR 8628 91405 Orsay (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 3, pp. 883-917.

Dans cet article on s’intéresse à l’existence et l’unicité globale de solutions pour le système de Navier-Stokes à densité variable, lorsque la donnée initiale de la vitesse est dans l’espace de Besov homogène de régularité critique B p,1 -1+N p (ℝ N ). Notons que ce résultat fait suite aux résultats de H. Abidi qui a généralisé le travail de R. Danchin. Toutefois, dans les travaux antérieurs, l’existence de la solution est obtenue pour 1<p<2N et l’unicité est démontrée sous l’hypothèse plus restrictive 1<p≤N. Notre résultat répond à la question de l’existence pour tout 1<p<+∞ et de l’unicité dans la plage 1<p≤2N. L’intérêt de ce théorème est qu’on obtient alors des espaces de régularité d’indices négatifs, dans lesquels toute donnée initiale devient petite en présence des fortes oscillations.

In this article we are interested in the existence and global uniqueness of the solution for the equation of inhomogeneous fluid, when the initial velocity is in the critical homogeneous Besov space B p,1 -1+N p (ℝ N ). Let us note that this result followed upon the results of H. Abidi which generalized the work of R. Danchin. However, the existence of solutions is obtained when 1<p<2N and uniqueness is shown under more restrictive assumption 1<p≤N. Our result resolves the question of the existence for all 1<p<+∞ and uniqueness for 1<p≤2N. As an interesting application of this theorem, we obtain global existence for oscillating initial data.

DOI : 10.5802/aif.2280
Classification : 35Q30, 35B30, 76D03, 76D05
Mot clés : équations de Navier-Stokes inhomogènes, existence globale, unicité
Keywords: nonhomogeneous Navier-Stokes equations, global existence, uniqueness

Abidi, Hammadi 1 ; Paicu, Marius 2

1 Université Paris 6 Laboratoire Jacques-Louis Lions 175, rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
2 Université Paris-Sud Laboratoire de Mathématiques Bât. 425 CNRS – UMR 8628 91405 Orsay (France) 
@article{AIF_2007__57_3_883_0,
     author = {Abidi, Hammadi and Paicu, Marius},
     title = {Existence globale pour un fluide inhomog\`ene},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {883--917},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {57},
     number = {3},
     year = {2007},
     doi = {10.5802/aif.2280},
     mrnumber = {2336833},
     zbl = {1122.35091},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2280/}
}
TY  - JOUR
AU  - Abidi, Hammadi
AU  - Paicu, Marius
TI  - Existence globale pour un fluide inhomogène
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2007
SP  - 883
EP  - 917
VL  - 57
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2280/
DO  - 10.5802/aif.2280
LA  - fr
ID  - AIF_2007__57_3_883_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Abidi, Hammadi
%A Paicu, Marius
%T Existence globale pour un fluide inhomogène
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2007
%P 883-917
%V 57
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2280/
%R 10.5802/aif.2280
%G fr
%F AIF_2007__57_3_883_0
Abidi, Hammadi; Paicu, Marius. Existence globale pour un fluide inhomogène. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 3, pp. 883-917. doi : 10.5802/aif.2280. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2280/

[1] Abidi, H. Équation de Navier-Stokes avec densité et viscosité variables dans l’espace critique (à paraître au Rev. Mat. Iberoamericana) | Zbl

[2] Antontsev, S.; Kazhikhov, A.; Monakhov, V. Boundary value problems in mechanics of nonhomogeneous fluids, 1990 (Translated from the Russian. Studies in mathematics and its applications, 22. North-Holland publishing co. Amsterdam) | Zbl

[3] Bony, J.-M. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Volume 14 (1981), pp. 209-246 | Numdam | MR | Zbl

[4] Cannone, M.; Meyer, Y.; Planchon, F. Solutions auto-similaires des équations de Navier-Stokes, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, École Polytechnique, Palaiseau, 1994 | Numdam | MR | Zbl

[5] Chemin, J.-Y. Fluides parfaits incompressibles, Astérisque, Volume 230, Société Mathématique de France, 1995 | MR | Zbl

[6] Chemin, J.-Y. Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, Journal d’analyse mathématique, Volume 77 (1999), pp. 25-50 | MR | Zbl

[7] Chemin, J.-Y.; Lerner, N. Flot de champs de vecteurs non-lipschitziens et équations de Navier-Stokes, J. Differential equations, Volume 121 (1995), pp. 247-286 | DOI | MR | Zbl

[8] Danchin, R. The inviscid limit for density-dependent incompressible fluids (à paraître aux Annales de la Faculté de Sciences de Toulouse) | Numdam

[9] Danchin, R. Global existence in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations, Invent. Math., Volume 141 (2000), pp. 579-614 | DOI | MR | Zbl

[10] Danchin, R. Local theory in critical spaces for compressible viscous and heat-conductive gases, Commun. Partial differential equations, Volume 26 (2001) no. 7-8, pp. 1183-1233 Commun. Partial differential equations 27 (2002), 11–12, 2531–2532 | DOI | MR | Zbl

[11] Danchin, R. Density-dependent incompressible viscous fluids in critical spaces, Proceedings of the royal society of Edinburgh, Volume 133A (2003), pp. 1311-1334 | DOI | MR | Zbl

[12] Danchin, R. Local and global well-posedness results for flows of inhomogeneous viscous fluids, Advances in differential equations, Volume 9 (2004), pp. 353-386 | MR | Zbl

[13] Desjardins, B. Global existence results for the incompressible density-dependent Navier-Stokes equations in the whole space, Differential and integral equations, Volume 10 (1997), pp. 587-598 | MR | Zbl

[14] Desjardins, B. Regularity results for two-dimensional flows of multiphase viscous fluids, Arch. Rational mech. Anal., Volume 137 (1997), pp. 135-158 | DOI | MR | Zbl

[15] Fernandez-Cara, E.; Guillén, F. The existence of nonhomogenous,viscous, and incompressible flow in unbounded domains, Comm. P.D.E., Volume 17 (1992), pp. 1253-1265 | DOI | MR | Zbl

[16] Fleet, T. M. Differential analysis, Cambridge University Press, 1980 | Zbl

[17] Fujita, H.; Kato, T. On the Navier-Stokes initial value problem I, Archive for rational mechanics and analysis, Volume 16 (1964), pp. 269-315 | DOI | MR | Zbl

[18] Kato, T. Strong L p -solutions of the Navier-Stokes equation in ℝ m , with applications to weak solutions, Math. Z., Volume 187 (1984), pp. 471-480 | DOI | MR | Zbl

[19] Kazhikov, V. Resolution of boundary value problems for nonhomogeneous viscous fluids, Dokl. Akad. Nauh, Volume 216 (1974), pp. 1008-1010

[20] Ladyzhenskaya, O.; Solonnikov, V. The unique solvability of an initial-boundary value problem for viscous incompressible inhomogeneous fluids, J. Soviet Math., Volume 9 (1978), pp. 697-749 | DOI | Zbl

[21] Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid dynamics, Incompressible models, Volume 1, Oxford University Press, 1996 | MR | Zbl

[22] Meyer, Y. Ondelettes et opérateurs, Hermann, 1991 no. 3 | MR | Zbl

[23] Peetre, J. New thoughts on Besov spaces, Duke University Mathematical, Series 1, Durham N.C., 1976 | MR | Zbl

[24] Runst, T.; Sickel, W.; Gruyter, De Sobolev spaces of fractional order, nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations, Nonlinear analysis and applications, Walter de Wruyter and Co, Berlin, 1996 | MR | Zbl

[25] Simon, J. Nonhomogeneous viscous incompressible fluids, existence of velocity, density, and pressure, Siam J. Math. Anal., Volume 21 (1990), pp. 1093-1117 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :