Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol

Hausberger, Thomas

doi:10.5802/aif.2126

Hausberger, Thomas ¹

¹ Université Montpellier II, I3M - UMR CNRS 5149, cc 051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5 (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 4, pp. 1285-1371.

Résumé
Abstract

Considérons les variétés de “ $D$ -faisceaux elliptiques” $ℰ ℓ ℓ$ introduites par Laumon, Rapoport et Stuhler, définies sur un corps de fonctions $F$ d’une variable sur un corps fini, où $D$ est une algèbre de division de dimension $d^{2}$ sur $F$ . Nous montrons que ces variétés admettent, en une place $o$ de $F$ où $D_{o}$ est un corps gauche d’invariant $1 / d$ , une uniformisation rigide-analytique par l’espace de Drinfeld $Ω^{d}$ , ou par les revêtements $Σ_{n}^{d}$ de $Ω^{d}$ (selon la structure de niveau). Ce résultat constitue l’analogue du théorème de Čerednik bien connu dans le cas des corps de nombres. Comme application, nous démontrons une conjecture de Carayol : la limite inductive $Ψ_{d}$ , suivant $n$ , des groupes de cohomologie $ℓ$ -adique avec support, en degré médian, des revêtements $Σ_{n}^{d}$ - sur laquelle agit le produit GL $_{d} (F_{o}) \times D_{o}^{*} \times W_{F_{o}}$ - constitue une réalisation géométrique simultanée des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands (du moins pour les cuspidales). Notre preuve est de nature “globale” : via le théorème d’uniformisation, on compare la représentation locale $Ψ_{d}$ à la cohomologie globale de la variété modulaire $ℰ ℓ ℓ$ .

Let us consider Laumon-Rapoport-Stuhler modular varieties $ℰ ℓ ℓ$ for “ $D$ - elliptic sheaves”, which are defined over a function field $F$ in one variable over a finite field, for a division algebra $D$ of dimension $d^{2}$ over $F$ . We show that these varieties admit, at a place $o$ of $F$ where $D_{o}$ is a skew field of invariant $1 / d$ , a rigid-analytic uniformization by Drinfeld’s space $Ω^{d}$ , or by the coverings $Σ_{n}^{d}$ of $Ω^{d}$ (depending on the level structure). This result is the analogue of Čerednik’s theorem, which is well known in the number field case. As an application, we prove a conjecture of Carayol’s : the inductive limit $Ψ_{d}$ over $n$ of the $ℓ$ -adic cohomology groups with support, in median degree, of the coverings $Σ_{n}^{d}$ - on wich the product GL $_{d} (F_{o}) \times D_{o}^{*} \times W_{F_{o}}$ acts - yields a geometrical simultaneous realization of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences. Our proof is of “global” nature : using the uniformization theorem, we compare the local representation $Ψ_{d}$ to the global cohomology of the moduli variety $ℰ ℓ ℓ$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2126

Classification : 11G, 11S37, 11G09, 11G18, 14G22
Mot clés : uniformisation rigide-analytique, variétés modulaires de Drinfeld, correspondance de Langlands locale
Keywords: Rigid-analytic uniformization, Drinfeld modular varieties, local Langlands correspondence

Affiliations des auteurs :

Hausberger, Thomas ¹

¹ Université Montpellier II, I3M - UMR CNRS 5149, cc 051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5 (France)

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Hausberger, Thomas. Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol. Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 4, pp. 1285-1371. doi : 10.5802/aif.2126. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2126/

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