[Division and composition theorems in the ring of analytic Dirichlet series]
We study the local ring of analytic Dirichlet series. First we prove Weierstrass division type theorems and we deduce from them arithmetical properties of this ring. In particular we obtain that it is a unique factorization domain. Then we are interested in composition problems. Let and be analytic Dirichlet series. It is well-known that with is an analytic Dirichlet series too. We obtain a converse. Suppose that is a formal Dirichlet series and that is analytic, we prove that is itself analytic. We get similar results you studying the composition of power series by analytic Dirichlet series.
Ce travail est une étude analytique locale de l’anneau des séries de Dirichlet convergentes. Dans un premier temps, on établit des propriétés arithmétiques de cet anneau ; on prouve en particulier sa factorialité, que l’on déduit de théorèmes de division du type Weierstrass. Ensuite, on s’intéresse à des problèmes de composition. Soient et des séries de Dirichlet convergentes. On sait que avec est encore une série de Dirichlet convergente. On étudie la réciproque : sous les hypothèses que est une série de Dirichlet formelle et que est analytique, on montre que est elle-même analytique. On donne aussi des résultats analogues dans le cas mixte, c’est-à- dire lorsque l’on compose une fonction holomorphe par une série de Dirichlet convergente.
Mot clés : séries de Dirichlet, géométrie analytique locale, anneaux arithmétiques
Keywords: Dirichlet series, local analytic geometry, arithmetic rings
Bayart, Frédéric 1; Mouze, Augustin 2
@article{AIF_2003__53_7_2039_0, author = {Bayart, Fr\'ed\'eric and Mouze, Augustin}, title = {Division et composition dans l'anneau des s\'eries de {Dirichlet} analytiques}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {2039--2060}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {53}, number = {7}, year = {2003}, doi = {10.5802/aif.2000}, zbl = {1077.32002}, mrnumber = {2044167}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2000/} }
TY - JOUR AU - Bayart, Frédéric AU - Mouze, Augustin TI - Division et composition dans l'anneau des séries de Dirichlet analytiques JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2003 SP - 2039 EP - 2060 VL - 53 IS - 7 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2000/ DO - 10.5802/aif.2000 LA - fr ID - AIF_2003__53_7_2039_0 ER -
%0 Journal Article %A Bayart, Frédéric %A Mouze, Augustin %T Division et composition dans l'anneau des séries de Dirichlet analytiques %J Annales de l'Institut Fourier %D 2003 %P 2039-2060 %V 53 %N 7 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2000/ %R 10.5802/aif.2000 %G fr %F AIF_2003__53_7_2039_0
Bayart, Frédéric; Mouze, Augustin. Division et composition dans l'anneau des séries de Dirichlet analytiques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 7, pp. 2039-2060. doi : 10.5802/aif.2000. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2000/
[1] Local analytic geometry, Academic Press, New York-London, 1964 | MR | Zbl
[2] Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators, Monat. Math, Volume 136 (2002), pp. 203-236 | DOI | MR | Zbl
[3] Factorialité de l'anneau des séries de Dirichlet analytiques, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 336 (2003), pp. 213-218 | MR | Zbl
[4] Algèbre commutative, chap. 5 et 6, Hermann, 1964 | MR | Zbl
[5] Weierstrass préparé à la Hironaka, Astérisque, Volume 7-8 (1973) | MR | Zbl
[6] The ring of number-theoretic functions, Pacific J. Math, Volume 9 (1959), pp. 975-985 | MR | Zbl
[7] On composite formal power series, Trans. Amer. Math. Soc, Volume 353 (2001), pp. 1691-1703 | DOI | MR | Zbl
[8] When convergent implies is convergent, Math. Ann, Volume 229 (1977), pp. 201-210 | DOI | MR | Zbl
[9] Les nombres premiers, Hermann, 1975 | MR | Zbl
[10] The Composition Operators on the space of Dirichlet Series with Square Summable Coefficients, Michigan Math. J, Volume 46 (1999), pp. 313-329 | DOI | MR | Zbl
[11] Analytische Stellenalgebren, Springer Verlag, Berlin, 1971 | MR | Zbl
[12] Ordre, convergence et sommabilité des produits de séries de Dirichlet, Ann. Inst. Fourier, Volume 47 (1997) no. 2, pp. 485-529 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[13] Über den Wertervorrat von in der Halbebene , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Volume 36 (1933), pp. 81-91 | JFM | Zbl
[14] Fonctions composées analytiques et différentiables, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 282 (1976), pp. 1237-1240 | MR | Zbl
[15] Division dans l'anneau des séries formelles à croissance contrôlée. Applications, Studia Math, Volume 144 (2001), pp. 63-93 | DOI | MR | Zbl
[16] Sur la composition des séries formelles à croissance contrôlée, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., 5, Volume Vol. I (2002), pp. 73-92 | Numdam | MR | Zbl
[17] Remarque sur le lemme de Hensel, Bull. Acad. Polonaise Sci., Sér. Math., Volume 28 (1980), pp. 115-116 | MR | Zbl
[18] Factorialité des anneaux de séries formelles et de séries convergentes sur les espaces vectoriels normés, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 262 (1966), pp. 902-904 | MR | Zbl
[19] Idéaux de fonctions différentiables, Springer Verlag, Berlin, 1972 | MR | Zbl
Cited by Sources: