We define and study infinitesimal analogues of the main quotients of the group algebra of the Artin’s groups, namely the Temperley-Lieb, Hecke and Birman-Wenzl-Murakami algebras, in terms of KZ-systems. These analogues are Hopf algebras which correspond to reductive groups : we give then a general framework for the study of representations deduced from the classical representations of through tensor constructions. We use this to analyse representations related to the Burau representation, and we fully decompose the infinitesimal Temperley-Lieb algebra. As a by-product, we obtain several irreducibility properties.
Nous définissons et entamons l’étude d’analogues infinitésimaux des quotients principaux (algèbres de Temperley-Lieb, Hecke, Birman-Wenzl-Murakami) de l’algèbre de groupe du groupe d’Artin . Ce sont des algèbres de Hopf qui correspondent à des groupes réductifs, et permettent de donner un cadre général aux représentations dérivées des représentations classiques de . Nous décomposons complètement l’algèbre de Temperley-Lieb infinitésimale, et en déduisons plusieurs résultats d’irréductibilité.
Mot clés : représentations, groupe de tresses, Temperley-Lieb, Knizhnik-Zamolodchikov
Keywords: representations, braid group, Temperley-Lieb, Knizhnik-Zamolodchikov
Marin, Ivan 1
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Marin, Ivan. Quotients infinitésimaux du groupe de tresses. Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 5, pp. 1323-1364. doi : 10.5802/aif.1981. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1981/
[1] A new approach to the word and conjugacy problems in the braid groups, Adv. Math, Volume 139 (1998) no. 2, pp. 322-353 | DOI | MR | Zbl
[2] Groupes et algèbres de Lie, ch. 1, Hermann, 1960 | MR | Zbl
[3] On algebras which are connected with the semisimple continuous groups, Annals of Math (2), Volume 38 (1937), pp. 857-872 | DOI | JFM | MR | Zbl
[4] Zyclotomische Heckealgebren, Astérisque, Volume 212 (1993), pp. 7-92 | MR | Zbl
[5] Hecke algebras and characters of parabolic type of finite groups with -pairs, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1971) no. 40, pp. 81-116 | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[6] Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points, Galois groups over (MSRI Publ.), Volume 16 (1989), pp. 79-287 | Zbl
[7] Applications of Murphy's elements (1989) (inédit)
[8] Quasi-Hopf algebras, Leningrad Math. J, Volume 1 (1990) no. 6, pp. 1419-1457 | MR | Zbl
[9] On quasitriangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected with , Leningrad Math. J, Volume 2 (1991) no. 4, pp. 829-860 | MR | Zbl
[10] Coxeter Graphs and Towers of Algebras, MSRI Publ, 14, Springer-Verlag, 1989 | MR | Zbl
[11] Nouvelle classification des (super-)algèbres de Lie simples par le biais de leurs invariants tensoriels (1994) (Thèse de l'université Paris XI-Orsay)
[12] Representation theory, a first course, GTM, 129, Springer-Verlag, 1991 | MR | Zbl
[13] On a generalization of Hilbert's 21st problem, Ann. Sci. E.N.S. 4e sér., Volume t. 19 (1986), pp. 609-627 | Numdam | MR | Zbl
[14] On the decomposition of the tensor algebra of the classical Lie algebras, Adv. in Math, Volume 56 (1985) no. 3, pp. 238-282 | DOI | MR | Zbl
[15] Polynomial invariants of knots via von Neumann algebras, Bull. AMS, Volume 12 (1985), pp. 103-111 | DOI | Zbl
[16] Symmetric polynomials and the center of the symmetric group ring, Rep. Math. Phys, Volume 5 (1974), pp. 107-112 | DOI | MR | Zbl
[17] Quantum groups, GTM, 155, Springer-Verlag, 1995 | MR | Zbl
[18] Monodromy representations of braid groups and Yang-Baxter equations, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 37 (1987) no. 4, pp. 139-160 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[19] Linear representations of braid groups and classical Yang-Baxter equations, Braids (Santa Cruz, CA, 1986) (Contemp. Math), Volume 78 (1988), pp. 339-363 | Zbl
[20] Série de Poincaré-Koszul associée au groupe de tresses pures, Invent. Math, Volume 82 (1985), pp. 57-75 | DOI | MR | Zbl
[21] Mémoires sur la théorie des systèmes des équations différentielles linéaires, Chelsea, 1953 | Zbl
[22] Une caractérisation tensorielle des représentations standard, Expositiones Mathematicae, Volume 18 (2000), pp. 243-254 | MR | Zbl
[23] Représentations linéaires des tresses infinitésimales (2001) (Thèse de l'Université Paris XI-Orsay)
[24] On KZ-systems which are irreducible under the action of the symmetric group, Comptes Rendus Acad. Sci, Série I, Volume 333 (2001), pp. 517-522 | MR | Zbl
[25] Normalisateurs de tores I. Groupes de Coxeter étendus, J. Alg, Volume 4 (1966), pp. 96-116 | DOI | MR | Zbl
[26] On the structure of Brauer's centralizer algebras, Ann. of Math (2), Volume 128 (1988), pp. 173-193 | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: