Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini

Hickel, Michel

doi:10.5802/aif.1834

Hickel, Michel ¹

¹ Université Bordeaux I, Laboratoire de Mathématiques Pures, 351 cours de la Libération, 33405 Talence Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 3, pp. 707-744.

Résumé
Abstract

Soient $k$ un corps commutatif et $I = (p_{1}, \dots, p_{m}) k_{n} [X]$ un idéal de l’anneau des polynômes $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ (éventuellement $I = k_{n} [X]$ ). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$ , élément de la clôture intégrale $\bar{I}$ de l’idéal $I$ , on a une représentation

p^{m} = \sum_{1 \leq i \leq m} p_{i} q_{i}, avec max deg (q_{i} p_{i}) \leq m deg p + m d_{1} \dots d_{m},

où

d_{i} = deg p_{i}, 1 \leq i \leq m

Let $k$ be a commutative field and $I = (p_{1}, \dots, p_{m}) k_{n} [X]$ an ideal of the polynomial ring $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ (possibly $I = k_{n} [X]$ ). We prove a conjecture of C. Berenstein - A. Yger asserting that for every $p$ in the integral closure of the ideal $I$ , one has a representation

p^{m} = \sum_{1 \leq i \leq m} p_{i} q_{i}, with max deg (q_{i} p_{i}) \leq m deg p + m d_{1} \dots d_{m},

where

d_{i} = deg p_{i}, 1 \leq i \leq m

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1834

Classification : 14A05, 13A15, 32C99
Mot clés : Nullstellensatz effectif, clôture intégrale des idéaux, inégalités de Łojasiewicz
Keywords: effective Nullstellensatz, integral closure of ideals, global Łojasiewicz inequalities

Affiliations des auteurs :

Hickel, Michel ¹

¹ Université Bordeaux I, Laboratoire de Mathématiques Pures, 351 cours de la Libération, 33405 Talence Cedex (France)

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Hickel, Michel. Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 3, pp. 707-744. doi : 10.5802/aif.1834. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1834/

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