no. 4
D † (∞)-affinité des schémas projectifs
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 4, pp. 913-956.

Soient V un anneau de valuation discrète complet, d’inégales caractéristiques (0,p), et 𝒳 un schéma formel projectif et lisse sur le spectre formel de V. Soit 𝒵 un diviseur ample sur 𝒳 et 𝒰 l’ouvert affine complémentaire du diviseur. Dans cette situation, P. Berthelot a construit sur 𝒳 un anneau d’opérateurs différentiels arithmétiques, à coefficients surconvergents le long de 𝒵, noté D † (∞). Nous montrons ici que 𝒳 est D † (∞)-affine. Ce résultat renforce l’intuition que la catégorie des D † (∞)-modules cohérents est moralement attachée à l’ouvert 𝒰.

Let V be a discrete, complete, valuation ring of unequal characteristics (0,p), and 𝒳 a formal projective smooth scheme on the formal spectrum of V. Let 𝒵 be an ample divisor on X, and 𝒰 the affine open set which is the complement of 𝒵 into 𝒳. In this situation, Berthelot constructed the sheaf of arithmetic differential operators with overconvergent coefficients along 𝒵, denoted by D † (∞). We prove here that 𝒳 is D † (∞)-affine. This result corroborates the idea that the category of coherent D † (∞)-modules can be viewed as attached to the affine open set 𝒰.

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