no. 3
On gradients of functions definable in o-minimal structures
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 769-783.

S.Łojasiewicz a démontré que si f est une fonction analytique au voisinage de a, avec f(a)=0, alors ∥ grad f∥≥|f| α , avec α<1. Nous démontrons la généralisation de cette inégalité valable dans toute structure o-minimale. Nous en déduisons (comme dans le cas analytique) que toutes les trajectoires du gradient d’une fonction définissable dans une structure o-minimale ont des longueurs uniformément bornées. Ceci permet de démontrer que le flot du gradient définit une rétraction sur une ligne de niveau.

We prove the o-minimal generalization of the Łojasiewicz inequality ∥ grad f∥≥|f| α , with α<1, in a neighborhood of a, where f is real analytic at a and f(a)=0. We deduce, as in the analytic case, that trajectories of the gradient of a function definable in an o-minimal structure are of uniformly bounded length. We obtain also that the gradient flow gives a retraction onto levels of such functions.

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