On gradients of functions definable in o-minimal structures
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 769-783.

S.Łojasiewicz a démontré que si f est une fonction analytique au voisinage de a, avec f(a)=0, alors grad f|f| α , avec α<1. Nous démontrons la généralisation de cette inégalité valable dans toute structure o-minimale. Nous en déduisons (comme dans le cas analytique) que toutes les trajectoires du gradient d’une fonction définissable dans une structure o-minimale ont des longueurs uniformément bornées. Ceci permet de démontrer que le flot du gradient définit une rétraction sur une ligne de niveau.

We prove the o-minimal generalization of the Łojasiewicz inequality grad f|f| α , with α<1, in a neighborhood of a, where f is real analytic at a and f(a)=0. We deduce, as in the analytic case, that trajectories of the gradient of a function definable in an o-minimal structure are of uniformly bounded length. We obtain also that the gradient flow gives a retraction onto levels of such functions.

@article{AIF_1998__48_3_769_0,
     author = {Kurdyka, Krzysztof},
     title = {On gradients of functions definable in o-minimal structures},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {769--783},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {48},
     number = {3},
     year = {1998},
     doi = {10.5802/aif.1638},
     zbl = {0934.32009},
     mrnumber = {2000b:03139},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1638/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kurdyka, Krzysztof
TI  - On gradients of functions definable in o-minimal structures
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1998
SP  - 769
EP  - 783
VL  - 48
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1638/
DO  - 10.5802/aif.1638
LA  - en
ID  - AIF_1998__48_3_769_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kurdyka, Krzysztof
%T On gradients of functions definable in o-minimal structures
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1998
%P 769-783
%V 48
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1638/
%R 10.5802/aif.1638
%G en
%F AIF_1998__48_3_769_0
Kurdyka, Krzysztof. On gradients of functions definable in o-minimal structures. Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 769-783. doi : 10.5802/aif.1638. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1638/

[BM] E. Bierstone P.D. Milman, Semianalytic and subanalytic sets, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 67 (1988), 5-42. | Numdam | MR | Zbl

[BCR] J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy, Géométrie algébrique réelle, Springer, 1987. | MR | Zbl

[vD] L. Van Den Dries, Remarks on Tarski's problem concerning (ℝ, +,.), Logic Colloquium 1982, (eds: G. Lolli, G. Longo, A. Marcja), North Holland, Amsterdam, 1984, 97-121. | MR | Zbl

[DMM] L. Van Den Dries, A. Macintyre, D. Marker, The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation, Ann. of Math., 140 (1994), 183-205. | MR | Zbl

[DM] L. Van Den Dries, C. Miller, Geometric categories and o-minimal structures, Duke Math. J., 84, No 2 (1996), 497-540. | MR | Zbl

[DS] L. Van Den Dries, P. Speissegger, The real field with generalized power series is model complete and o-minimal, Trans. AMS (to appear). | Zbl

[Hu] X. Hu, Sur la structure des champs de gradients de fonctions analytiques réelles, Thèse Université Paris 7 (1992).

[KŁZ] K. Kurdyka, S. Łojasiewicz, M. Zurro, Stratifications distinguées comme outil en géométrie semi-analytique, Manuscripta Math., 186 (1995), 81-102. | MR | Zbl

[KM] K. Kurdyka, T. Mostowski, The Gradient Conjecture of R. Thom, preprint (1996). | Zbl

[KP] K. Kurdyka, A. Parusiński, wf-stratification of subanalytic functions and the Łojasiewicz inequality, C. R. Acad. Sci. Paris, 318, Série I (1994), 129-133. | MR | Zbl

[LR1] J-M. Lion, J.-P. Rolin, Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentielles, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 47-3 (1997), 852-884. | Numdam | MR | Zbl

[LR2] J-M. Lion, J.-P. Rolin, Théorème de Gabrielov et fonctions log-exp-algébriques, preprint (1996).

[Lo] T. Loi, On the global Łojasiewicz inequalities for the class of analytic logarithmic-exponential functions, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 45-4 (1995), 951-971.

[Ł1] S. Łojasiewicz, Une propriété topologique des sous-ensembles analytiques réels, Colloques Internationaux du CNRS, Les équations aux dérivées partielles, vol 117, ed. B. Malgrange (Paris 1962), Publications du CNRS, Paris, 1963. | MR | Zbl

[Ł2] S. Łojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, Inst. Hautes Études Sci., Bures-sur-Yvette, 1965.

[Ł3] S. Łojasiewicz, Sur les trajectoires du gradient d'une fonction analytique réelle, Seminari di Geometria 1982-1983, Bologna, 1984, 115-117. | MR | Zbl

[Ł4] S. Łojasiewicz, Sur la géométrie semi- et sous-analytique, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 43-5 (1993), 1575-1595. | Numdam | MR | Zbl

[Mi] C. Miller, Expansion of the real field with power functions, Ann. Pure Appl. Logic, 68 (1994), 79-94. | MR | Zbl

[S1] M. Shiota, Geometry of subanalytic and semialgebraic sets: abstract, Real analytic and algebraic geometry, Trento 1992, eds. F. Broglia, M. Galbiati, A. Tognoli, W. de Gruyter, Berlin, 1995, 251-276. | MR | Zbl

[S2] M. Shiota, Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Birkhauser, 1997. | MR | Zbl

[Si] L. Simon, Asymptotics for a class of non-linear evolution equations, with applications to geometric problems, Ann. of Math., 118 (1983), 527-571. | MR | Zbl

[Sj] R. Sjamaar, Convexity properties of the moment mapping re-examined, Adv. of Math., to appear. | Zbl

[W1] A. Wilkie, Model completness results for expansions of the ordered field of reals by restricted Pffafian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc., 9 (1996), 1051-1094. | MR | Zbl

[W2] A. Wilkie, A general theorem of the complement and some new o-minimal structures, manuscript (1996).

Cité par Sources :