no. 3
Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 755-767.

Soit f(x,y) une fonction sous-analytique de R n ×R m à valeurs dans R + . Nous montrons que l’intégrale ∫ R m f(x,y)dy est une fonction log-analytique de x. Nous en déduisons que le volume k-dimensionnel des éléments Y x d’une famille sous-analytique de sous-ensembles sous-analytiques globaux de l’espace euclidien R m est une fonction log-analytique de x. Un corollaire de ce résultat est le caractère log-analytique de la fonction densité k-dimensionnelle d’un sous-analytique global de dimension k en tout point de sa fermeture topologique.

Let f(x,y) be a positive subanalytic function defined on R n ×R m . We prove that the integral ∫ R m f(x,y)dy is a log-analytic function of x. Let Y x be a subanalytic family of global subanalytic subsets of the euclidean space R m . We deduce from the previous result that the k-dimensional volume of Y x is a log-analytic function of x. A corollary is the log-analytic behaviour of the k-dimensional density of a k-dimensional subanalytic set at any point of its topological closure.

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