no. 3
Topologie d'un polynôme de deux variables complexes au voisinage de l'infini
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 3, pp. 645-687

Nous donnons un système complet d’invariants de la classe de conjugaison topologique de polynômes de ℂ 2 en dehors d’un compact suffisamment grand dans les deux sens suivants : en tant que feuilletages (en oubliant les valeurs des fibres) et en tant que fonctions. Ces invariants sont donnés par un arbre pondéré, fléché et coloré, obtenu à partir de la résolution des singularités du polynôme sur la droite à l’infini. Nous donnons un critère de régularité pour les valeurs d’un polynôme et une description de la topologie de ses fibres que l’on utilisera dans la construction de la conjugaison topologique à partir des arbres.

We give a complete system of invariants for the topological conjugacy of polynomials of ℂ 2 outside a big enough compact set in the two possible versions: as foliations (forgetting the values of the fibers) and as functions. These invariants are described as a weighted and colored tree, that is obtained after reduction of singularities of the polynomial in the line of infinity. We give a regularity criteria for the values of a polynomial and a description of the topology of its fibers used in the construction of the topological conjugacy from the tree.

@article{AIF_1996__46_3_645_0,
     author = {Fourrier, Laurence},
     title = {Topologie d'un polyn\^ome de deux variables complexes au voisinage de l'infini},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {645--687},
     year = {1996},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {46},
     number = {3},
     doi = {10.5802/aif.1527},
     zbl = {0855.32018},
     mrnumber = {98e:32066},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1527/}
}
TY  - JOUR
AU  - Fourrier, Laurence
TI  - Topologie d'un polynôme de deux variables complexes au voisinage de l'infini
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1996
SP  - 645
EP  - 687
VL  - 46
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1527/
DO  - 10.5802/aif.1527
LA  - fr
ID  - AIF_1996__46_3_645_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Fourrier, Laurence
%T Topologie d'un polynôme de deux variables complexes au voisinage de l'infini
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1996
%P 645-687
%V 46
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1527/
%R 10.5802/aif.1527
%G fr
%F AIF_1996__46_3_645_0
Fourrier, Laurence. Topologie d'un polynôme de deux variables complexes au voisinage de l'infini. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 3, pp. 645-687. doi: 10.5802/aif.1527

[1] I. Berstein et A.L. Edmonds, On the construction of branched coverings of low-dimensional manifolds, Transactions of the AMS, 247 (1979), 87-124. | Zbl | MR

[2] S. Blank et F. Laudenbach, Isotopie des formes fermées en dimension 3, Inv. Math., 54 (1979), 103-177. | Zbl | MR

[3] E. Brieskorn et H. Knörrer, Plane algebraic curves, Birkhäuser, 1986.

[4] S. Broughton, On the topology of polynomial hypersurfaces, Proc. Symp. Pure Math., 40, AMS Pub. (1983), 165-178. | Zbl | MR

[5] S. Broughton, Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces, Invent. Math., 92 (1988), 217-241. | Zbl | MR

[6] C. Camacho and P. Sad, Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields, Annals of Math., 115 (1982), 579-595. | Zbl | MR

[7] D. Cerveau et J.-F. Mattei, Formes intégrables holomorphes singulières, Astérisque, 97, 1982. | Zbl | MR

[8] D. Eisenbud and W.D. Neumann, Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities, Ann. Math. Stud. 101, Princeton University Press, 1985. | Zbl | MR

[9] L. Fourrier, Classification topologique à l'infini des polynômes de deux variables complexes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 318 (1994), 461-466. | Zbl | MR

[10] P. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry Pure and applied Mathematics, Wiley-Interscience series of texts, monographs and tracts, 1978. | Zbl

[11] H.V. Ha, Sur la fibration globale des polynômes de deux variables complexes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 309 (1989), 231-234. | Zbl | MR

[12] H.V. Ha, Nombres de Lojasiewicz et singularités à l'infini des polynômes de deux variables complexes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 311 (1990), 429-432. | Zbl | MR

[13] H.V. Ha, Sur l'irrégularité du diagramme sp'ice pour l'entrelacs à l'infini des courbes planes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 313, 5 (1991), 277-280. | Zbl | MR

[14] H.V. Ha et D.T. Le, Sur la topologie des polynômes complexes, Acta Math. Viet., 9 numéro 1 (1984), 21-32. | Zbl | MR

[15] H.V. Ha et L.A. Nguyen, Le comportement géométrique à l'infini des polynômes de deux variables complexes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 309 (1989), 183-186. | Zbl

[16] F. Hirzebruch, W.D. Neumann and S.S. Koh, Differentiable manifolds and quadratic forms, Lecture Notes in pure and appl. Math. 4, Marcel Dekker, Inc. New York, 1971. | Zbl | MR

[17] W.H. Jaco, Lectures on three-manifold topology, C.B.M.S. vol. 43, 1980. | Zbl | MR

[18] W.H. Jaco and P.B. Shalen, Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Memoirs of the A.M.S. 220, 1979. | Zbl

[19] K. Johannson, Homotopy equivalence of 3-manifolds with boundaries, Lect. Notes Math. vol 761, 1979, New York-Berlin-Heidelberg, Springer. | Zbl | MR

[20] J-F. Mattei et R. Moussu, Holonomie et intégrales premières, Ann. Scient. École Norm. Sup., 4ième série, 13 (1980), 469-523. | Zbl | MR | Numdam

[21] F. Michel et C. Weber, Topologie des germes de courbes planes à plusieurs branches, Université de Genève, 1985, à paraître.

[22] J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Ann. of Math. Studies 61, Princeton Univ. Press, 1968. | Zbl | MR

[23] W.D. Neumann, A calculus for plumbing applied to the topology of complex surface singularities and degenerating complex curves, Trans. of the A. M. S., 268 numéro 2 (1981), 299-344. | Zbl | MR

[24] W.D. Neumann, Complex algebraic plane curves via their links at infinity, Invent. Math., 98 (1989), 445-489. | Zbl | MR

[25] W.D. Neumann, On the topology of curves in complex surfaces, Topological methods in algebraic transformation groups (New Brunswick, NJ, 1988), 117-133, Prog. Math., 80, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1989. | Zbl

[26] W.D. Neumann and L. Rudolph, Unfoldings in Knot Theory, Math. Ann., 278 (1987), 409-439, Math. Ann., 282 (1988), 49-351. | Zbl | MR

[27] L. Rudolph, Embeddings of the line in the plane, J. reine angew. Math., 337 (1982), 113-118. | Zbl | MR

[28] A. Seidenberg, Reduction of singularities of the differentiable equation A dY = B dX, Amer. J. of Math., 90 (1968), 248-269. | Zbl | MR

[29] J. Stallings, On fibering certain 3-manifolds, Topology of 3-manifolds and related topics (Ed. par M.K. Fort, Jr.), Prentice-Hall, N.J., 1962, 95-100.

[30] M. Suzuki, Propriétés topologiques des polynômes de deux variables complexes et automorphismes algébriques de l'espace ℂ2, J. Math. Soc. Japan, 26, numéro 2 (1974), 241-257. | Zbl | MR

[31] M. Suzuki, Sur les opérations holomorphes du groupe additif complexe sur l'espace de deux variables complexes, Ann. Scient. École Norm. Sup., 4ième série, 10 (1977), 517-546. | Zbl | MR | Numdam

[32] R. Thom, Ensembles et morphismes stratifiés, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 240-284. | Zbl | MR

[33] F. Waldhausen, Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Invent. Math., 3 (1967), 308-333, Invent. Math., 4 (1967), 87-117. | Zbl | MR

[34] F. Waldhausen, On irreducible 3-manifolds that are sufficiently large, Ann. of Math., 87 (1968), 56-88. | Zbl | MR

[35] W. Whitten, Knot complements and groups, Topology, 26, n° 1 (1987), 41-44. | Zbl | MR

[36] O. Zariski, Studies in equisingularity II : Equisingularity in codimension 1 (and caracteristic 0), Am. J. of Math., 87 (1965), 972-1006. | Zbl | MR

Cité par Sources :