This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension and rank , an Euclidean space of dimension , a regular self-adjoint representation of in , the quadratic form associated to , the symmetric cone associated to and its automorphism group
() Assume that and have -structures and respectively and is defined over . Let be a lattice in . The zeta series associated to and is defined by
where , is some arithmetic subgroup of . () Assume that is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions () and () and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series converges absolutely for . 2. admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.
Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension et de rang un espace euclidien de dimension , une représentation auto-adjointe régulière de dans , la forme quadratique vectorielle associée à , le cône symétrique associé à , et son groupe d’automorphismes
() On suppose que et admettent des -structures et respectivement et est définie sur . Soit un réseau dans . La série zêta associée à et est définie par
où , est un certain sous-groupe arithmétique de . () On suppose que est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses () et () et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta converge absolument pour . 2. admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.
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Achab, Dehbia. Zeta functions of Jordan algebras representations. Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 5, pp. 1283-1303. doi : 10.5802/aif.1496. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1496/
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