Zeta functions of Jordan algebras representations

Achab, Dehbia

doi:10.5802/aif.1496

Achab, Dehbia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1283-1303.

Résumé
Abstract

Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient $V$ une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension $n$ et de rang $m, E$ un espace euclidien de dimension $N$ , $φ$ une représentation auto-adjointe régulière de $V$ dans $E$ , $Q$ la forme quadratique vectorielle associée à $φ$ , $Ω$ le cône symétrique associé à $V$ , et $G (Ω)$ son groupe d’automorphismes

G (Ω) = {g \in G L (V) | g (Ω) = Ω} .

( $H_{1}$ ) On suppose que $V$ et $E$ admettent des $Q$ -structures $V_{Q}$ et $E_{Q}$ respectivement et $φ$ est définie sur $Q$ . Soit $L$ un réseau dans $E_{Q}$ . La série zêta associée à $φ$ et $L$ est définie par

ζ_{L} (s) = \sum_{l \in Γ_{\circ} ∖ L^{'}} [\det (Q (l))]^{- s}, \forall s \in C

où $L^{'} = {l \in L | \det (Q (l)) \neq 0}$ , $Γ_{\circ}$ est un certain sous-groupe arithmétique de $G L (E)$ . ( $H_{2}$ ) On suppose que $V_{Q}$ est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses ( $H_{1}$ ) et ( $H_{2}$ ) et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta $ζ_{L} (s)$ converge absolument pour $Re (s) > \frac{N}{2 m}$ . 2. $ζ_{L}$ admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan $C$ et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.

This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let $V$ be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension $n$ and rank $m$ , $E$ an Euclidean space of dimension $N$ , $φ$ a regular self-adjoint representation of $V$ in $E$ , $Q$ the quadratic form associated to $φ$ , $Ω$ the symmetric cone associated to $V$ and $G (Ω)$ its automorphism group

G (Ω) = {g \in G L (V) | g (Ω) = Ω} .

( $H_{1}$ ) Assume that $V$ and $E$ have $Q$ -structures $V_{Q}$ and $E_{Q}$ respectively and $φ$ is defined over $Q$ . Let $L$ be a lattice in $E_{Q}$ . The zeta series associated to $φ$ and $L$ is defined by

ζ_{L} (s) = \sum_{l \in Γ_{\circ} ∖ L^{'}} [\det (Q (l))]^{- s}, \forall s \in C

where $L^{'} = {l \in L | \det (Q (l)) \neq 0}$ , $Γ_{\circ}$ is some arithmetic subgroup of $G L (E)$ . ( $H_{2}$ ) Assume that $V_{Q}$ is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions ( $H_{1}$ ) and ( $H_{2}$ ) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series $ζ_{L} (s)$ converges absolutely for $Re (s) > \frac{N}{2 m}$ . 2. $ζ_{L}$ admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane $C$ and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1496

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Achab, Dehbia. Zeta functions of Jordan algebras representations. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1283-1303. doi : 10.5802/aif.1496. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1496/

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