Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties
Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 2, pp. 403-420.

The main result of this paper implies that if an abelian variety over a field F has a maximal isotropic subgroup of n-torsion points all of which are defined over F, and n5, then the abelian variety has semistable reduction away from n. This result can be viewed as an extension of Raynaud’s theorem that if an abelian variety and all its n-torsion points are defined over a field F and n3, then the abelian variety has semistable reduction away from n. We also give information about the Néron models in the cases where n=2,3 and 4.

Le résultat principal de cet article implique que si une variété abélienne définie sur un corps F a un sous-groupe isotropique maximal dont les points d’ordre n sont définis sur F, et n5, alors la variété abélienne a une réduction semi-stable en dehors de n. Ce résultat peut être considéré comme une extension du théorème de Raynaud que si une variété abélienne a tous ses points d’ordre n définis sur F avec n3, alors la variété abélienne a une réduction semi-stable en dehors de n. Nous donnons aussi des renseignements sur les modèles de Néron dans les cas où n=2,3 ou 4.

@article{AIF_1995__45_2_403_0,
     author = {Silverberg, Alice and Zarhin, Yuri G.},
     title = {Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {403--420},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {45},
     number = {2},
     year = {1995},
     doi = {10.5802/aif.1459},
     zbl = {0818.14017},
     mrnumber = {96h:11057},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1459/}
}
TY  - JOUR
TI  - Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1995
DA  - 1995///
SP  - 403
EP  - 420
VL  - 45
IS  - 2
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1459/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A0818.14017
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=96h:11057
UR  - https://doi.org/10.5802/aif.1459
DO  - 10.5802/aif.1459
LA  - en
ID  - AIF_1995__45_2_403_0
ER  - 
%0 Journal Article
%T Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1995
%P 403-420
%V 45
%N 2
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://doi.org/10.5802/aif.1459
%R 10.5802/aif.1459
%G en
%F AIF_1995__45_2_403_0
Silverberg, Alice; Zarhin, Yuri G. Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties. Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 2, pp. 403-420. doi : 10.5802/aif.1459. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1459/

[1] B. Birch and W. Kuyk, eds., Modular functions of one variable IV, Lecture Notes in Math. 476, Springer, New York, 1975, pp. 74-144. | Zbl

[2] S. Bosch, W. Lütkebohmert, M. Raynaud, Néron models, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1990. | Zbl

[3] B. Edixhoven, Néron models and tame ramification, Comp. Math., 81 (1992), 291-306. | Numdam | MR | Zbl

[4] M. Flexor and J. Oesterlé, Sur les points de torsion des courbes elliptiques, Astérisque, Société Math. de France, 183 (1990), 25-36. | MR | Zbl

[5] G. Frey, Some remarks concerning points of finite order on elliptic curves over global fields, Ark. Mat., 15 (1977), 1-19. | MR | Zbl

[6] A. Fröhlich, Local fields, in Algebraic Number Theory, J. W. S. Cassels and A. Fröhlich, eds., Thompson Book Company, Washington, 1967, pp. 1-41.

[7] A. Grothendieck, Modèles de Néron et monodromie, in Groupes de monodromie en géometrie algébrique, SGA7 I, A. Grothendieck, ed., Lecture Notes in Math. 288, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1972, pp. 313-523. | MR | Zbl

[8] H. Lenstra and F. Oort, Abelian varieties having purely additive reduction, J. Pure and Applied Algebra, 36 (1985), 281-298. | MR | Zbl

[9] D. Lorenzini, On the group of components of a Néron model, J. reine angew. Math., 445 (1993), 109-160. | MR | Zbl

[10] H. Minkowski, Gesammelte Abhandlungen, Bd. I, Leipzig, 1911, pp. 212-218 (Zur Theorie der positiven quadratischen Formen, J. reine angew. Math., 101 (1887), 196-202). | JFM

[11] D. Mumford, Abelian varieties, Second Edition, Tata Lecture Notes, Oxford University Press, London, 1974.

[12] D. Mumford, Tata Lectures on Theta II, Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston-Basel-Stuttgart, 1984. | Zbl

[13] J-P. Serre, Rigidité du foncteur de Jacobi d'echelon n ≥ 3, Appendix to A. Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique, X. Construction de l'espace de Teichmüller, Séminaire Henri Cartan, 1960/1961, no. 17.

[14] J-P. Serre and J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math., 88 (1968), 492-517. | MR | Zbl

[15] A. Silverberg and Yu. G. Zarhin, Isogenies of abelian varieties, J. Pure and Applied Algebra, 90 (1993), 23-37. | MR | Zbl

[16] J. H. Silverman, The Néron fiber of abelian varieties with potential good reduction, Math. Ann., 264 (1983), 1-3. | MR | Zbl

[17] A. Weil, Variétés abéliennes et courbes algébriques, Hermann, Paris, 1948. | MR | Zbl

Cited by Sources: