Cohomologie des algèbres de Lie croisées et K-théorie de Milnor additive
Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 1, pp. 93-118.

In this paper we define modules of (co)-homology 0 (𝔊,𝔄), 1 (𝔊,𝔄), (𝔊,𝔄), 1 (𝔊,𝔄) where 𝔊 and 𝔄 are Lie algebras with an extra structure (crossed Lie algebras). This modules satisfy the usual properties of cohomological functors, in particular existence of an exact sequence associated to a short exact sequence of coefficients.

For a k-algebra A, equipped with the trivial Lie algebra structure, we use these homology modules to compare the cyclic homology groupe HC 1 (A) with an additive analogue of the Milnor’s group K 2 Madd (A).

Dans cet article, nous définissons des modules de (co)-homologie 0 (𝔊,𝔄), 1 (𝔊,𝔄), (𝔊, 𝔄), 1 (𝔊,𝔄)𝔊 et 𝔄 sont des algèbres de Lie munies d’une structure supplémentaire (algèbres de Lie croisées), qui satisfont les propriétés usuelles des foncteurs cohomologiques. Si A est une k-algèbre, nous utilisons ces modules d’homologie pour comparer le groupe d’homologie cyclique HC 1 (A) avec un analogue additif du groupe de K-théorie de Milnor K 2 Madd (A).

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Guin, Daniel. Cohomologie des algèbres de Lie croisées et $K$-théorie de Milnor additive. Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 1, pp. 93-118. doi : 10.5802/aif.1449. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1449/

[CL] J.M. Casas, M. Ladra, Perfect crossed modules in Lie algebras, preprint. | Zbl

[DS] K. Dennis, M. Stein, K2 of discrete valuation rings, Advances in Math., 19 (1975), 182-238. | Zbl

[E1] G. Ellis, Crossed modules and their higher dimensional analogues, Ph.D. Thesis (1984), University College of North Wales, Bangor.

[E2] G. Ellis, Non abelian exterior products of Lie algebras and an exact sequence in homology of Lie algebra, Glasgow Math. J., 29 (1987), 13-19. | Zbl

[Ga] H. Garland, The arithmetic theory of loop groups, Publ. I.H.E.S., 52 (1980), 5-136. | Numdam | MR | Zbl

[G1] D. Guin, Cohomologie et homologie non abéliennes des groupes. J. of Pure and Applied Algebra, 50 (1988), 109-137. | MR | Zbl

[G2] D. Guin, Homologie du groupe linéaire et K-théorie de Milnor des anneaux, J. of Algebra, 123 (1989), 27-59. | MR | Zbl

[KL] C. Kassel, J.-L. Loday, Extensions centrales d'algèbres de Lie, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 32-4 (1982), 119-142. | Numdam | MR | Zbl

[L1] J.-L. Loday, Comparaison des homologies du groupe linéaire et de son algèbre de Lie. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 37-4 (1987), 167-190. | Numdam | MR | Zbl

[L2] J.-L. Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 301, Springer-Verlag (1992). | Zbl

[LQ] J.-L. Loday, D. Quillen, Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices, Comment. Math. Helv., 59 (1984), 565-591. | MR | Zbl

[LR] R. Lavendhomme, R. Roisin, Cohomologie non abélienne de structures algébriques, J. of Algebra, 67 (1980), 385-414. | MR | Zbl

Cited by Sources: