On se propose d’étudier les variétés d’Einstein compactes en signature hyperbolique normale et plus particulièrement la validité du principe de Mach. Une première méthode consiste à elliptiser certains problèmes en associant à une métrique hyperbolique normale une métrique elliptique. On montre ainsi qu’un espace-temps compact et stationnaire est localement euclidien s’il est extérieur, à constante cosmologique positive s’il est feuilleté par des sections d’espace compactes et schématise un fluide parfait. Un contre-exemple montre que l’hypothèse sur le feuilletage est essentielle.
Après avoir établi un théorème du type Hopf-Rinow, la technique de Myers montre que les variétés complètes à métrique hyperbolique normale, et à courbure de Ricci bornée inférieurement par un nombre positif, ont leurs géodésiques temporelles de longueur bornée et leurs lacets temporels homotopes à zéro.
On montre l’existence sur une variété périodique close d’une section d’espace compacte, de classe , et d’aire maximum. Cela permet de démontrer que si un espace-temps périodique clos est extérieur, il est localement euclidien ; s’il schématise un fluide parfait sa constante cosmologique est positive.
La dernière partie tente l’extension de la théorie de Hodge-de-Rham en signature quelconque. On est conduit à discerner deux types de décomposition : ou bien l’espace des -formes est la somme directe de l’espace des -formes homologues à zéro, de celui des -formes cohomologues à zéro, et de celui des -formes fermées et cofermées, ou bien est dense dans au sens de la convergence faible. Ces notions permettent la généralisation de différents résultats classiques en signature elliptique.
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Avez, André. Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale. Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) no. 2, pp. 105-190. doi : 10.5802/aif.144. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.144/
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