no. 5
Sur un théorème de Dulac
Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1397-1433.

Nous considérons les champs de vecteurs analytiques de (ℂ n ,0) de partie linéaire diagonale non nulle et dont les valeurs propres λ i ∈ℂ vérifient des relations de résonances toutes engendrées par une seule relation (r,λ)=0 pour un certain vecteur r∈ℕ n non nul. Nous montrons que, dans un système de coordonnées locales holomorphes au voisinages de 0∈ℂ n , de tels champs de vecteurs se “mettent" sous une forme normale partielle, tout en exhibant des variétés invariantes, si l’on fait une hypothèse de petits diviseurs diophantiens. Nos résultats généralisent, à une dimension quelconque, ceux en dimension 2 de H. Dulac.

We shall consider holomorphic vector fields of (ℂ n ,0) with a non zero diagonal linear part and which eigenvalues λ i ∈ℂ satisfy to some resonnance’s relations all generated by one relation (r,λ)=0 for a non zero vector r∈ℕ n . We shall show that such vector fields can be transformed, by a local holomorphic diffeomorphism near 0∈ℂ n , into a preliminary normal forms while exhibiting invariant varieties, if an hypothesis of diophantine small divisors is made. Our results generalize, to any dimension, those done by H. Dulac in dimension 2.

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Stolovitch, Laurent. Sur un théorème de Dulac. Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1397-1433. doi : 10.5802/aif.1439. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1439/

[AA88] V. Arnold et D.V. Anosov, Encyclopaedia of Mathematical Sciences : Dynamical Systems I, Springer-Verlag, 1988.

[Arn80] V. Arnold, Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Mir, 1980. | MR | Zbl

[Bru72] A.D. Bruno, The analytical form of differential equations, Trans. Mosc. Math. Soc., 25 (1971), 131-288 ; 26 (1972), 199-239. | Zbl

[Bru89] A.D. Bruno, Local methods in nonlinear differential equations, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer Verlag, 1989. | Zbl

[CKP78] H. Camacho, N.H. Kuiper et J. Palis, The Topology of Holomorphic Flows with Singularity, I.H.E.S., 48 (1978), 5-38. | Numdam | MR | Zbl

[CS] C. Camacho et P. Sad, Pontos singulares de equaçoes diferencais analiticas, 16 Coloquio Brasileiro de Matematica.

[DDS94] J. Della Dora et L. Stolovitch, Normal Forms of Differential Systems, 1994, Ed. E. Tournier, London Mathematical Society Lecture Note Series 193, p 143-184. | MR | Zbl

[Dul04] H. Dulac, Recherches sur les points singuliers des équations différentielles, J. Ecole Polytechnique, 2,9 (1904), 1-125. | JFM

[Dul23] H. Dulac, Sur les cycles limites, Bull. Soc Math. France, 51 (1923), 45-188. | JFM | Numdam

[Eca92] J. Écalle, Singularités non abordables par la géométrie, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 42, 1-2 (1992), 73-164. | Numdam | MR | Zbl

[Eli90] L.H. Eliasson, Generalisation of an estimate of small divisors by Siegel, pages 283-299, Rabinowitz, Zehnder editors, Academic Press, analysis, et cetera edition, 1990. | MR | Zbl

[Fra80] J.-P. Françoise, Singularités en géométrie locale isochore et applications à l'étude des champs de vecteurs, PhD thesis, Université Joseph Fourier Grenoble, France, 1980.

[IP86] Yu.S. Il'Yashenko et A.S. Pyartli, Materialization of resonances and divergence of normalizing series for polynomial differential equations, J. Soviet Math., 31 (1986), 300-313. | Zbl

[Mal82] B. Malgrange, Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Sém. Bourbaki 1981-1982, exp. 582 (1982). | Numdam | Zbl

[Mar80] J. Martinet, Normalisation des champs de vecteurs holomorphes, Séminaire Bourbaki, 33 (1980-1981), 564. | Numdam | Zbl

[MC88] R. Moussu et D. Cerveau, Groupes d'automorphismes de (ℂ,0) et équations différentielles ydy + ... = 0, Bull. Soc. Math. France, 16 (1988), 459-488. | Numdam | MR | Zbl

[MM80] J.-F. Mattei et R. Moussu, Intégrales premières et holonomie, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 13 (1980) 469-523. | Numdam | MR | Zbl

[MR85] J. Martinet et J.P. Ramis, Analytic Classification of Resonant Saddles and Foci, 1985, North-Holland. | MR | Zbl

[Pos86] J. Poschel, On invariant manifolds of complex analytic mappings near fixed points, Expo. Math., 4, (1986), 97-109. | MR | Zbl

[RM82] J.-P. Ramis et J. Martinet, Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre, I.H.E.S, 55 (1982), 63-164. | Numdam | MR | Zbl

[RM83] J.-P. Ramis et J. Martinet, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonantes du premier ordre, Ann. Sci. E.N.S., 4ème série, 16 (1983), 571-621. | Numdam | MR | Zbl

[Sie42] C.L. Siegel, Iterations of analytic functions, Ann. Math., 43 (1942) 807-812. | Zbl

[Yoc88] J.-C. Yoccoz, Linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes de (ℂ,0), C.R. Acad. Sci. Paris, 306 (1988) 55-58. | MR | Zbl

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