no. 3
Un nouveau résultat de pincement de la première valeur propre du laplacien et conjecture du diamètre pincé
Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 843-863.

Nous montrons qu’une variété riemannienne de dimension n, à courbure de Ricci ≥(n-1) et à courbure sectionnelle majorée, est une sphère dès que la première valeur propre de son laplacien (resp. son diamètre) est suffisamment proche de n (resp. de π).

We prove that a Riemannian n-manifold with Ricci curvature ≥(n-1) and sectional curvature bounded from above, is a sphere provided the first eigenvalue of its Laplacian (resp. its diameter) is sufficiently close to n (resp. to π).

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Ilias, Saïd. Un nouveau résultat de pincement de la première valeur propre du laplacien et conjecture du diamètre pincé. Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 843-863. doi : 10.5802/aif.1358. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1358/

[1] M.T. Anderson, Metrics of positive Ricci curvature with large diameter, Manuscripta Math., 68 (1990), 405-415. | EuDML | MR | Zbl

[2] P. Bérard, G. Besson, S. Gallot, Sur une inégalité isopérimétrique qui généralise celle de Paul Lévy-Gromov, Invent. Math., 80 (1985), 295-308. | EuDML | MR | Zbl

[3] M. Berger, D. Ebin, Some decompositions of the space of symmetric tensors on a riemannian manifold, J. Diff. Geom., 3 (1969), 379-392. | MR | Zbl

[4] A. Besse, Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 10, Springer-Verlag (1987). | Zbl

[5] I. Chavel, Eigenvalues in Riemannian geometry, Academic Press, Orlando (F1), 1984. | MR | Zbl

[6] J. Cheeger, D. Ebin, Comparison theorems in Riemannian geometry, North-Holland, Amsterdam, 1975. | MR | Zbl

[7] S.Y. Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications, Math. Z., 143 (1975), 289-297. | EuDML | MR | Zbl

[8] C.B. Croke, An eigenvalue pinching theorem, Invent. Math., 68 (1982), 253-256. | EuDML | MR | Zbl

[9] J.H. Eschenburg, Diameter, volume and topology for positive Ricci Curvature, J. Diff. Geom., 33 (1991), 743-747. | MR | Zbl

[10] S. Gallot, Un théorème de pincement et une estimation sur la première valeur propre du laplacien, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 289, (1979), 441-444. | MR | Zbl

[11] S. Gallot, Variétés dont le spectre ressemble à celui de la sphère, Astérisque, 80 (1980), 33-52. | MR | Zbl

[12] S. Gallot, Isoperimetric inequalities based on integral norms of Ricci curvature, Astérisque, 157-158, Colloque P. Lévy sur les processus stochastiques, S.M.F. Editeur, (1988), 191-216. | MR | Zbl

[13] K. Grove, K. Shiohama, A generalized sphere theorem, Ann. Math., 106 (1977), 201-211. | MR | Zbl

[14] S. Ilias, Constantes explicites pour les inégalités de Sobolev sur les variétés riemanniennes compactes, Ann. Inst. Fourier, 33-2 (1983), 151-165. | Numdam | MR | Zbl

[15] S. Ilias, Quelques résultats d'isolement pur les applications harmoniques, Prépublication n° 46/92, Laboratoire de Math. et Applications, Université de Tours.

[16] P. Li, A. Treibergs, Pinching theorem for the first eigenvalue on positively curved four manifolds, Invent. Math., 66 (1982), 35-38. | MR | Zbl

[17] P. Li, J.Q. Zhong, Pinching theorem for the first eigenvalue on positively curved manifolds, Invent. Math., 65 (1981), 221-225. | MR | Zbl

[18] A. Lichnerowicz, Géométrie des groupes de transformation. Dunod, Paris, 1958. | MR | Zbl

[19] M. Obata, Certain conditions for a riemannian manifold to be isometric with a sphere, J. Math. Soc. Japan, 14 (1962), 333-340. | MR | Zbl

[20] Y. Otsu, On manifolds of positive Ricci curvature with large diameter, Math. Z., 206 (1991), 255-264. | MR | Zbl

[21] M. Pinsky, A topological version of Obata's sphere theorem, J. Diff. Geom., 14 (1979), 369-376. | MR | Zbl

[22] J.P. Sha, D.G. Yang, Examples of manifolds of positive Ricci curvature, J. Diff. Geom., 29 (1989) 95-103. | MR | Zbl

[23] J.P. Sha, D.G. Yang, Positive Ricci curvature on the connected sums of Sn × Sm, preprint (1990).

[24] R.T. Smith, Harmonic mappings of spheres, Amer. J. Math., 97 (1975), 364-385. | MR | Zbl

[25] V. Toponogov, Riemannian spaces having their curvature bounded below by a positive number, Amer. Math. Soc. Transl., 37 (1964), 291-336. | Zbl

[26] J.Y. Wu, A diameter pinching sphere theorem for positive Ricci curvature, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 107, n° 3 (1989), 797-802. | MR | Zbl

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