Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système $2\times 2$ semi-linéaire

Nadir, B.; Varenne, Jean-Pierre

doi:10.5802/aif.1238

Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système

2 \times 2

semi-linéaire

Nadir, B. ; Varenne, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 4, pp. 849-866.

Résumé
Abstract

On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2 \times 2$ dans un ouvert de $ℝ^{n}$ , une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $Γ$ de $S$ . On suppose que, par $Γ$ , passent deux hypersurfaces caractéristiques $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ sont transverses à $Γ$ . Soit $u$ une solution dans une demi-région $Ω$ délimitée par $σ$ . On suppose que $u$ est la restriction à $Ω$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ . Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $Γ$ , alors $u$ est classique par rapport à $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ . Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $Γ$ , alors $u$ est classique par rapport $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ . Pour le problème aux limites hyperbolique à données au bord sur $S$ vérifiant la condition de Lopatinski uniforme, on montre que si cette donnée est classique par rapport à $Γ$ et si $u$ est classique par rapport à $Σ_{1}$ , supposée sortante, alors $u$ est classique par rapport à l’hypersurface (réfléchie) $Σ_{2}$ .

We consider a first order semilinear two by two system in an open set of $ℝ^{n}$ , a non-characteristic hypersurface $S$ and an hypersurface $Γ$ of $S$ . We suppose that through $Γ$ , there are exactly two characteristic transversal hypersurfaces $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ and that the bicharacteristics on $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ are transversal to $Γ$ . We suppose that $u$ is a solution in $Ω$ , one of the two half-spaces delimited by $S$ and that $u$ is the restriction of $Ω$ to a piecewise conormal distribution relatively to $Σ_{1}$ , $Σ_{2}$ . For the Cauchy problem, we show that if the trace of $u$ on $S$ is classical relatively to $Γ$ , so $u$ is classical relatively to $Σ_{1}$ and $Σ_{2}$ . For the boundary value hyperbolic problem with boundary condition on $S$ , satisfying uniform Lopatinski condition, we show that if the boundary condition is classical relatively to $Γ$ and if $u$ is classical relatively to $Σ_{1}$ , supposed outgoing, then $u$ is classical relatively to the reflected hypersurface $Σ_{2}$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1238

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Nadir, B.; Varenne, Jean-Pierre. Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système $2\times 2$ semi-linéaire. Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 4, pp. 849-866. doi : 10.5802/aif.1238. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1238/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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